Question

Mertebesi $p^{2}q^{2}$ ($p$ ve $q$ asallar) olan grubun çözülebilir olduğunu gösteriniz.

Answer 1

ilk olarak $p<q$ olsun.

1) $q$-Sylow gruplarinin sayisi $p^2$'yi bolmeli ve $1 \mod q$ olmali.
2) Bu sayi $1$, $p$ ya da $p^2$ olabilir. ($1$ ise cozulebilir.)
3) Bu sayi $p$ de olamaz, cunku $p \neq 1 \mod q$. ($p<q$)
4) Bu sayi eger $p^2$ ise ($p^2 = 1 \mod q$ oldugundan) $q|p^2-1$ olmali yani $q|p-1$ (ki olamaz) ya da $q|p+1$ olmali (ki bu durumda sadece $p=2,q=3$ olmali.)

Geriye kalan tek grup $36$ elemanli grup.

Answer 2

$p=q$ ise $|G|=p^4$ olup $p-$grup ve $G$ çözülebilir. $p\neq q$ ise $G$ nin Sylow $p-$ ve Sylow $q-$ altgrupları var. Ve bu altgruplar tek olduğundan $G$ de normal. $|H|=p^2$ ve $|K|=q^2$. O halde $H$ ve $K$ değişmeli  yani çözülebilir. $H\unlhd G$ ve $|G/H|=q^2$ yani $G/H$ değişmeli buradan $G/H$ çözülebilir. $H$ ve $G/H$ çözülebilir olduğundan $G$ çözülebilir. Benzer şekilde $K$ ve $G/K$ çözülebilir buradan $G$ çözülebilir olur.

Comments

$H$ neden $G$'de normal?

---

Değişmeli gruplar normaldir.

---

O zaman en basitinden $S_3$ içerisinde $2$ elemanlı bir altgrubu düşünelim.

---

yok öyle değil. mertebesi $p^2$ olan gruplar değişmeli. Yoksa örneğin tabii ki olmaz.

---

Mertebesi $2$ olan da değişmeli.

---

yanlış oldu. Sylow $p-$ ve Sylow $q-$ altgrupları tek dolayısıyla normal.

---

düzelttim. teşekkürler

---

Neden tek? Yine $S_3$ ve $2$ elemanli altgruplari ornegi..

---

Ne demek istediğini anlayamadım, verdiğin örnek $|S_{3}|=6$ ve Sylow$2-$altgruplarının sayısı $3$.

---

Eger $H$ ve $K$ degismeli ise ve $H$ ve $K$ normal ise bu demek ki $HK$ da degismelidir, yani $G$ degismelidir. Sizin ispatinizda kullanilan o parca dogru ise tum $p^2q^2$ elemanli gruplar degismeli olmali.


$S_3$ grubu $6$ elemanli $3\times2$ seklinde iki grubun yari direkt carpimi olarak yazabiliriz, ikisi de kendi icinde degismeli, fakat $2$ elemanli altgrubu normal degil.

---

H nin normal olmasının sebebi Gnin mertebesinden yani p-grupların özelliğinden diyebilir miyiz