$x^2+x+m+1=0 $ ve $x^2+(3m-2)x+2=0$ denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna göre , bu kök kaçtır?

Question

$\frac{x_1.x_2}{x_1.x_3}= \frac{m+2}{2}$ yazdım 

sonra $\frac{x_2}{x_3} = \frac{m+2}{2}$ şeklinde yazdım. 

Sonra bir de kökler toplamı yaptım ama oradan nasıl devam edeceğimi bilmiyorum. Bu soru tipini anlayamıyorum bir türlü. 

Bir de denklemleri taraf tarafa çıkarttım , 

$(3m-3)x-m+1=0$ geldi oradan da.

Comments

kök $\dfrac{-1\pm\sqrt7}{2}$ gibi birşey mi?

Answer 1

üstteki cevapta yanlış sadeleştirmelerimiz var ama yol tamamen doğru 


kökler toplamı çarpımı falan uğraşmadan ki ,uğraşsan bile çıkmıyor....

ortak kök'e a diyelim  ve m sayısını bulmadan sadece m olarak kullanarak ortak kökü bulmaya çalışalım


$a^2+a+m+1=a^2+3m.a-2a+2$ olur 



$a^2$ ler sadeleşir solda 1 oldugundan sağdan bir  eksilir denklem şöyle olur


$a+m=3m.a-2a+1$

$3a+m=3ma+1$

$3a-3ma=1-m$

$3a(1-m)=(1-m)$  biz demin m=1 bulmuştuk tabikide yanlış m=1 iken her a değeri için sağlanır ama biz tek bir a değeri arıyoruz

$3a=1$ 

$a=\frac{1}{3}$

Comments

Teşekkür ederim bu sefer gayet iyi anladım hatta boş olan sorulardan biri gitti bile :)

Anlayamadığım olursa soruyu gönderirim ben :)

Answer 2

senın yaptıgın yoldan çok karmaşık bir çıkmaz sokak çıkıyor, bu tür sorular çok saçma ve aşırı yanlış soruluyor birkere tanım aralıgı yok ve sadece tek kökmü ortak olucak? 2kök ortak olamazmı bu bile belirsiz. neyse ortak kök'e a dersem 


$a^2+a+m+1=a^2+(3m-2)a+2$  olur çünki her 2 denklem için de 0 oluyor sadeleştirip düzenlersek


$0=(3m-3)a+1-m$  burdan m =1 gelir denklemlerde yerıne yazarsak 2 denklem eşit çıkıyor dolayısıyla 

deltayı da hesaplarsak

cevap $\dfrac{-1\pm\sqrt7}{2}$

Comments

Üzgünüm ama cevap 1/3 

teşekkür ederim yine de :)

---

Bütün kitaplarımda bu ve buna benzer sorular boş benimde sürekli kafama takılıyor bir türlü anlayamıyorum çözümü. Bu yoldan da çıkmıyor zaten , henüz bulmuşluğum yok :)

---

buldum ve hatamızı gördüm yazıyorum şuan

---

Tamam teşekkürler :)

---

bunun gibi olan soruları at da beraber bakalım.

Answer 3

İlgili bağlantı  incelenebilir.

Answer 4

$$ax^2+bx+c=0$$ ve $$dx^2+ex+f=0$$ denklemlerinin ortak kökü varsa

 bu kök $$t$$ olsun.

$$t=\dfrac{af-cd}{bd-ae}$$ ile hesaplanır.Buradan yola çıkarak denklemde verilen katsayıların

$$a=1,b=1,c=m+1,d=1,e=3m-2,f=2$$ olduğu gözönüne alınırsa 

$$t=\dfrac{1.2-(m+1).1}{1.1-1.(3m-2)}=\dfrac{1-m}{3.(1-m)}=\dfrac{1}{3}$$ olduğu kolayca görülebilir.

Kolay gelsin

EK: İspat:

$$ax^2+bx+c=0$$ ve $$dx^2+ex+f=0$$ denklemlerinin ortak kökü  $$t$$ olsun. ohalde t her iki denklemi sağlamalıdır.Denklemlerde yerine yazalım

$$at^2+bt+c=0$$ ve

$$dt^2+et+f=0$$ 

ilk denklemi $$d $$ile ikinci denklemi $$a $$ ile çarpalım.

$$adt^2+bdt+cd=0$$

$$adt^2+eat+fa=0$$ 

Denklemleri taraf tarafa çıkarırsak $$(b.d-a.e)t+c.d-a.f=0$$ eşitliğinden

$$t=\dfrac{af-cd}{bd-ae}$$ bulunur.

Alıştırma için (Kaynak : İbrahim Kuşçuoğlu) bulduğumuz ortak kök herhangi bir denklemde yerine yazılarak denklemin katsayıları arasındaki bağıntı bulmaya çalışılabilir.