http://matkafasi.com/63000/newton-rahpson-icin-deneme-ve-anlami-nedir?show=63000#q63000
o zamanlar gençtim , daha cahildim.
Orada da bahsettiğim gibi $\sqrt2$ ye yaklaşırken bir başlangıç değeri seçiyoruz ama bu başlangıç değeri her reel sayı olabilir mi? yanlış bir başlangıç değeri(yanlıştan kasıt ne bilmiyorum) seçersek 1,41.... gibi birşey bulcağımıza daha farklı mı buluyoruz sonucu?
$\underline{Soru 1}$;
Başlangıç değerinin tam olarak anlamı nedir ? Bu newton rapson yakınsaması tam olarak ne demektir? Tam olarak nasıl kavrayabilirim
$\underline{Soru 2}$;
$\left|\dfrac{f(x).f''(x)}{(f'(x))^2}\right| < 1$
Bu denklemin anlamı nedir?
---------------------------------------------------------------------------------------------
Tomas Kalkülüs(George B.Thomas ) 11.basım sayfa 302
Metinden aynen alıntı yapıyorum ;
Newton Yönteminin Yakınsaklığı
Pratikte, Newton yöntemi genellikle etkileyici bir hızla yakınsar, fakat bu garantili olmadığından
yakınsamanın gerçekten bulunduğunu test etmeniz gerekir. Bunu yapmanın
bir yolu fonksiyonu çizerek $x_0$ için uygun bir başlama değeri bulmaktır. $|f(x_n)|$’e değer
vererek fonksiyonun bir sıfırına yaklaşıp yaklaşmadığınızı test edebilir, $|x_n-x_{n+1}|$ ’i
hesaplayarak yöntemin yakınsayıp yakınsamadığını kontrol edebilirsiniz.
Ancak, teori biraz yardım sağlar. İleri analizin bir teoremi bir r kökü civarında bir
aralıktaki her $x$ için
$\left|\dfrac{f(x).f''(x)}{(f'(x))^2}\right| < 1$
ise, yöntemin bu aralıktaki herhangi bir $x_0$ başlama değeri için r’ye yakınsayacağını söyler.
ƒ’nin grafiği, x-eksenini kestiği noktanın yakınlarında çok yatay değilse bu koşulun
sağlandığına dikkat edin. [[bu nedemektir?]]
r ve $x_0$ r ile arasında, $ƒ(x_0)$ 0 iken ƒ’nin grafiği yukarıya konkav, $ƒ(x_0)$ 0 iken
ƒ’nin grafiği aşağıya konkav ise Newton yöntemi daima yakınsar.Çoğu
durumda, r köküne yakınsamanın hızı
$\underbrace{|x_{n+1}-r|}_{hata_.e_{n+1}}\leq \dfrac{max|f''|}{2min|f'|}|x_n-r|^2=sabit.|x_n-r|^2$
ileri analiz formülü ile ifade edilir. Burada maks ve min, r’yi içeren aralıktaki maksimum
ve minimum değerleri göstermektedir. Formül, $n + 1$. adımdaki hatanın, bir sabit kere n.
adımdaki hatanın karesinden büyük olmadığını söyler. Sabit, 1 den küçük veya eşit ise ve
$|x_n-r| <10^{-3}$ ise $|x_{n + 1} – r |<10^{-6}$ ’dır. Formül bir adımda üç ondalık basamak doğruluktan
altı ondalık basamağa ilerler ve her başarılı adımda, doğruluk basamak sayısı ikiye
katlanmaya devam eder.