Tanım(Zayıf türev): $\emptyset\neq\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$ açık, $k\in \mathbb{N}$, $1\leq p<\infty$, sonsuz türevlenebilir tıkız destekli (ingl. support) fonksiyonlar kümesi $C_0^\infty(\Omega)$; $\| u\|_{W^{k,p}(\Omega)}:=\displaystyle\sum_{\vert\gamma\vert\leq k}\| D^\gamma u \|_{L^p(\Omega)}$ normuyla birlikte vektör uzayımızı oluştursun.
Not:$u$'nin türevini $D^\gamma u=\frac{\partial^{\vert\gamma\vert}u}{\partial x_1^{\gamma _1}\dots\partial x^{\gamma_n}_n}$ biçiminde yazdık.
Onu tamamlayıp şu Sobolev uzayını elde edelim:
$W_0^{k,p}(\Omega):=\{u\in L^p(\Omega)\vert \exists u_i\in C_0^\infty(\Omega): lim_{i,j\rightarrow \infty}\| u_i-u_j\|_{W^{k,p}(\Omega)}=0,L^p(\Omega)\text{'de }u_i\rightarrow u \}$
$u\in W_0^{k,p}(\Omega), u_i\in C_0^\infty(\Omega)$ olmak üzere, $L^p(\Omega)\text{'de }$ $u_i\rightarrow u$ ve $\| u_i-u_j\|_{W^{k,p}(\Omega)}\rightarrow 0$ sağlansın.
-Buradan itibaren $\gamma$, derecesi $\vert \gamma\vert<k$ olan bir çoklu damga-
O zaman ortaya $L^p(\Omega)$'de $D^\gamma u_i$'nin bir $u^\gamma$ göndermesine yakınsadığı
ve herhangi bir $\phi\in C_0^\infty(\Omega)$ için
$\int u^\gamma \phi\leftarrow \int D^\gamma u_i \phi =(-1)^{\vert\gamma\vert}\int u_i D^\gamma \phi \rightarrow (-1)^{\vert\gamma\vert} \int u D^\gamma \phi$ olduğu çıkar.
Böyle, $u$ aracılığıyla biricik belirlenen -yani $\phi\in C_0^\infty(\Omega)$ için $\int u^\gamma \phi= (-1)^{\vert\gamma\vert} \int u D^\gamma \phi$ eşitliğini geçerleyen- $u^\gamma$ göndermesine $u$'nun zayıf türevi denir ve $D^\gamma u$ ile gösterilir.