Geometrik yerle ilgili bir soru

Question

Analitik düzlemde, Kolları $A(8,0)$ ve $B(0,6)$ noktalarından geçen ve ölçüsü $m(\widehat{BPA})=90^0$ olan açıların $P$ köşelerinin geometrik yerinin denklemi nedir? Daha da önemlisi çember olan bu geometrik yere  $A(8,0)$ ve $B(0,6)$ noktalarıda dahil mi? Dahilse neden? 

Comments

Soru bununla mı ilgili? Benim de kafamı karıştıran bu hocam yorumdan geliyor ama daha matematiksel olarak nasıl elde ediyoruz?

---

Evet bu soruyu çözerken düşündüm. Bu soru geçmiş yıllarda ÖYS'de sorulmuş bir sorunun çok benzeri bir soru. Sorulduğu yıl ben bu sorunun cevaplarına itiraz etmiştim. O zaman ÖSYM'deki bilim heyeti benim yaklaşımımı doğru bulmuş, fakat ben geç itiraz ettiğim ve öğrencilerin çoğunun onların beklediği cevabı verdiği için, soruyu iptal etmemişlerdi. Bulabilirsem sorunun orijinalini de yükleyecegim.  

---

Peki yaklaşım neydi hocam özetle öğrenebilir miyim?

---

 Öncelikle aşağıdaki çözümünüz için çok teşekkür ederim. Emeklerinize sağlık.

 Benim yaklaşımımı sormuşsunuz. Orta öğretim ders kitaplarında "Bir doğru parçasını dik açı altında gören noktaların geometrik yeri, o doğru parçasını çap kabul eden çemberdir" yargısı yer alır. İşte benim burada itirazım var. Ben  "çap uçları hariç bu doğru parçasını çap kabul eden bir çemberdir" şeklinde olmalıdır diyorum. Mesela sizin aşağıda yaptığınız çözümde bulduğunuz denklemi çap uçları olan $A(8,0),B(0,6)$ noktaları sağlamaktadır. Oysa $m(\widehat{ABA})=90^0$ mı? Ya da $m(\widehat{BAB})=90^0$ mı?  İşte bu sebeple geometrik yer;

$\{(x,y): (x-4)^2+(y-3)^2=25,\quad x,y\in R\}-\{(8,0),(0,6)\}$ olmalıdır diye düşünüyorum.

---

Bu soru için yaklaşımınız çok doğru hocam. Ama benim sorumda orta noktaları soruyordu yani diklik şartı yoktu, biz sonradan yazdık diklikleri. Bu durumda kirişlerin orta noktasının geometrik yerinde noktaları dahil ediyoruz, bunun gibi sorularda almıyoruz.

---

Evet sizin sorduğunuz soru için bir problem yok.

---

Bu arada buna benzer olan soru 21 Haziran 1998 pazar günü yapılan ÖYS'de 42. soru olarak sorulmuştur. Soru kolları $A(-5,-9)$ ve $B(5,7)$ noktalarından geçe dik açının köşesinin geometrik yerini sormuş. Cevap olarakta $x^2+y^2+2y-88=0$ çemberini vermişti. Ben bu sorunun cevabına itiraz etmiştim ve cevabın $\{(x,y): x^2+y^2+2y-88=0,\quad x,y\in R\}-\{(-5,-9),(5,7)\}$ şeklinde olmasını savunmuştum.

Answer 1

$P(x_1,y_1)$ olmak üzere bir $P$ noktamız olsun. $[AP] \bot [BP]$ olduğundan $m_{AP}.m_{BP}=\frac{x_1-8}{y_1}.\frac{x_1}{y_1-6}=-1$ olmalıdır. Düzenlersek $x_1^2-8x_1+y_1^2-6y_1=0$ denklemini elde ederiz. Bu ifadeyi $(x_1-4)^2+(y_1-3)^2=25$ şeklinde yazıp $P$ noktaları için genelleştirirsek (yani tüm $P$ noktalarının geometrik yerini veren bağıntı) $(x-4)^2+(y-3)^2=25$ bize $P$ noktalarının geometrik yerinin merkezi $M(4,3)$ olan $5$ br yarıçaplı bir çemberi belirttiğini gösterir.