Aranan rakam $\boxed{9}$ dur.
Çözüm:
$a,b$ birer pozitif tam sayı olmak üzere $(\sqrt{2} + 1)^{3000}=a + \sqrt{2}b$ biçimindedir. Benzer fikirle $(\sqrt{2} - 1)^{3000}=a - \sqrt{2}b$ dir! Sadece $\sqrt{2}$ irrasyonel kısmının katsayısının işaret değiştirdiğini gözlemlemek yeterlidir. Dolayısıyla $$ (\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a $$ biçiminde bir çift tam sayı olur. Öte taraftan $(\sqrt{2} - 1)^{3000} $ pozitif sayısı $0$ a çok yakındır. Bakalım işimize yarayacak kadar yakın mıymış?
Öncelikle $ \sqrt{2} < 1,45$ olduğunu her iki tarafın karesini alarak görebiliriz. Buna göre $ \sqrt{2}-1 < 0,45 $ tir. Şimdi $ (\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{45^3}{10^6} = \dfrac{91125}{10^6} < \dfrac{10^5}{10^6} $ olup $$ (\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{1}{10}$$ buluruz. İşte bu çok iyi oldu! Soruya abanmaya devam edelim:
$(\sqrt{2}-1)^{3000} < 10^{-1000}$ ve $ (\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a $ olduğundan $$ 2a-10^{-1000} < (\sqrt{2} + 1)^{3000} <2a $$ olup $(\sqrt{2} + 1)^{3000} $ sayısının virgülden sonraki en az $1000$ basamağının $9$ ile bittiğini anlarız.