$\star$ NEREDEN GELİYOR $\star$ $\pi$ sayısı hesabı için yazılan serilerin nasıl oluşturulduğunu lütfen açıklayın merak içindeyim! $\pi=3+\dfrac{4}{3^3-3}-\dfrac{4}{5^3-5}+\dfrac{4}{7^3-7}-\dfrac{4}{9^3-9}+.....$

Question

1) Nilakantha Somayaji;

$\pi=3+\dfrac{4}{3^3-3}-\dfrac{4}{5^3-5}+\dfrac{4}{7^3-7}-\dfrac{4}{9^3-9}+.....$

2)Franciscus Vieta;

$\pi=2.\dfrac{2}{\sqrt2}.\dfrac{2}{\sqrt{2+\sqrt2}}.\dfrac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}.\dfrac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}}.....$

3)Gregory-Leibniz;

$\pi=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}$

4)Isaac Newton

$\pi=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{2^{(n+1)}.(n!)^2}{(2n+1)!}$



Bu formüller nasıl çıkarılmış ve hepsi nasıl olur da tek bir cevaba ulaşıyor?

Comments

$2+1=4+(-1)=3+0=2.5+0.5$.

---

ama hangı oranda yönelicegini nasıl şey ediyorlar?

---

Farkli hesaplamalar.. Biri 10'a 10'ar saymis 50 bulmus, digeri 5'er 5'er sayarak bulmus olabilir... Bu nedenle bu kismin sasirtici olmadigini soylemek istedim.

Mesela artik $5$'i de $\pi+(5-\pi)$ olarak bu kadar sekilde yazabiliriz.

---

ama tek tek yazınca , biri bir pinin üstüne çıkıp altına ınerek , yukarı aşşagı yaklaşıyor, öbürü aşşağıdan, diğeri yukarıdan gibi gibi, 

Ve madem bunlar piyi doğru veriyor bunları hangı teknıklerle yaratmışlar bu çok merak ettiğim bir husus.

---

O kisim sasirtici, evet:)

---

$\pi=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{2n+1}$ Taylor serilerinden $\displaystyle \pi^x$ şeklinde yazılarak elde edilmiş olabilir.

---

piyi bilmeden yerıne nasıl pı yazcaz :D 

Ama çok iyi bir yerden gordun ilk fırsatta dedıgını ıncelıyım.

---

$e^x$'ten o kazığı yedim ya bir daha nerede görsem tanırım :)