$f$ fonksiyonunu bulunuz

Question

$ f:\mathbb{R}-\mathbb{R}^-\to\mathbb{R}$ olmak üzere bir $f$ fonksiyonu tanımlayalım. $f(0)=k$ ve $\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=a.f(x)$ olduğuna göre $f$ fonksiyonunu bulunuz.

Bu soruyla ilgili, Doğan Dönmez hocamızın hoş bir çözümü vardı ama tam olarak yapamadım integrasyonu.

Comments

Geçen zopa yemiştim $f$ fonksiyonu olucak (x)'i sil hemen :)

---

Sercan hocanın uzun menzilli zopa sisteminden(UMZS) mi yedin kimden? :)

---

Bu arada şaka maka çözdüm soruyu, sormadan çözeydim iyiydi ama vatana millete hayrı dokunsun dursun buralarda çözümünü hiç olmadı ben yazarım.

---

$f(x)$ i sol tarafa alinca lnx in turevi geliyor sonrasinda $ln|f(x)|+c$ diye mi dusunecegiz?

---

Doğru yoldasın devam et :)

---

Devami pek gelmedi :D

---

$\dfrac{u'}{u}$ dogru yapmıştınız bırdaha kontrol ediniz:)

---

Ufak bir yazım hatası var sanırım:

$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h=a\cdot f(x) $ şeklinde olmalı herhalde.

---

Tamam integre ettin $c$'yi halletmek için $f(0)$'ı yerine yazmayı dene. Aslında $f(0)=c$ demekle hata etmişim ya onlar karışmasın değiştireyim onu ben.

---

Çok teşekkürler hocam gözden kaçmış.

---

Cevap ne acaba? :)

---

$k.e^{ax}=f(x)$ cevap.

---

Anladim en iyisi siz yazin^^

---

Diğer hocalarımızdan bekliyorum, bir iki güne cevap gelmezse yazarım inşallah.

Answer 1

$\dfrac{f'(x)}{f(x)}=a$ yaparız  ve biraz düzenleyelim



$\dfrac{f'(x)}{f(x)}\dfrac{dx}{dx}=a$      neden? 


http://matkafasi.com/75544/star-star%24-kolay-her-zaman-dusulen-hatalar-integrali-turevi


Burada da bahsi mevzu olan olayı yazalım;

Zincir kuralı ne idi?


http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1?show=67909#q67909

yani

$f(g(x))$ in türevi 

$f'(g(x)).g'(x)$ dir ,ispatı yapılmıştı.

g(x)=x dersek 

$(f(x))'=f'(x).\dfrac{dx}{dx}$ olur

Başa dönersek


$\dfrac{f'(x)}{f(x)}\dfrac{dx}{dx}=a$   dx'in birini sağa atalım     (yavaş atalım kırılmasın, bize lazım olucak)


$\dfrac{f'(x)}{f(x)}.dx=a.dx$    şimdi al integrali, $f(x)=u$ yap veya yapmadanda bulabilirsin yani;
 
$ln|f(x)|=a.x+C$ olur          

$e^{a.x}.e^C=f(x)$ olur  buradaki  $e^C$  bir sabittir  $e^C=h$ dersek


$\boxed{\boxed{\boxed{f(x)=e^{a.x}.h}}}$