Kombinasyon Eşitliği

Question

$\binom{2n}{n}\ = \frac{2^n (2n-1)!!}{n!}$ eşitliğini kanıtayınız.

Comments

$(2n-1)!!=1\cdot3\cdot5\cdot ... \cdot(2n-1)$ demek herhalde?

Answer 1

$n=1$ icin dogru oldugu bariz.

$n=k$ icin dogru oldugunu kabul edelim:

$C(2k+2,k+1)=\frac {(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2}C(2k,k)=\frac {(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2}\frac {2^k(2k-1)!!}{k!}=\frac {2^{k+1}(2k+1)!!}{(k+1)!}$

Comments

çok hızlısınız! , sizin için gölgenizden hızlı soru çözer diyorlar :-))

---

Tumevarim yontemini kullanmadan nasil cozulur? Cevap verilmeseydi bu esitlik bulunabilir miydi sorusu dusunulurse, hic sormayin :) Once biraz dusunun bulunabilir mi diye. Cevabi asagida













ilk esitlikten geriye dogru giderek (yani surekli 1 azaltarak) bulunabilir cok rahat.

---

stairway to Heaven :-) yöntemi ,  kesirli sayıları anlamak kolay mı zor mu başlıklı yazı için matematik dünyası-3 pdf leri paylaşılmamış

---

belki paylasilir, bekliyoruz.

---

hocam tümevarımsız çözümü göremiyorum 

---

ilk eşitlikten kastınız eşitliğin solundan itibaren 1 azaltılarak mı ? ,  çünkü tümevarımsız çözümü göremiyorum 

---

Evet: $C(2k,k)$'dan sonra $C(2k-2,k-1)$ sonra ...

---

ooooo cool çözüm 

---

aslında en iyi çözüm oyu için son çözümünüze verecektim , artık ilk çözüme vermiş bulundum :-))

---

Eşitliğin sonunda sanıyorum bir yanlışlık var. 

Çünkü siz: $\frac{(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2}.\frac{2^k(2k-1)!}{k!}=\frac{2^{k+1}(2k+1)!}{(k+1)!}$ olduğunu yazmışsınız. Oysa işlemler yapıldığında $\frac{(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2}.\frac{2^k(2k-1)!}{k!}=\frac{2^{k+1}(2k+1)(2k-1)!}{(k+1)!}$ oluyor. Sonucun doğru olması için son kesirin payında $2k$ çarpanı bulunmalıdır.

---

O faktoriyel değil, !! İşareti, tanımı yorumda yazılı.