$(X,\tau)$ bir Hausdorff uzay olması için gerekli ve yeterli koşul $(A,{\tau}_A)$ Hausdorff uzayı olmasıdır. Gösteriniz.

Question

Bir Hausdorff topolojisinden daha ince olan bir topoloji de Hausdorff topolojisidir.

Yeterlilik kısmını ispatlayacak olursam,

$(X,\tau)$ bir topolojik uzay, $A\subseteqX$ olmak üzere, $A$'dan $X$ içine $I$ içerme dönüşümü olacak şekilde bir özdeşlik dönüşümü tanımlayalım.

$(A,{\tau}_A)$ bir Hausddorff uzayı olsun. $A\subseteq X$ olduğundan $(X, A'\text{ dan daha ince})$ ve $I$ özdeşlik dönüşümü birebir ve sürekli olduğundan $(X,\tau)$ bir Hausdorff uzayıdır. Gereklilik kısmını nasıl yapmalıyım? 

Comments

Bu doğru değil gibi ya. Mesela $X$ Hausdorff bir uzay ve $Y$ Hausdorff olmayan bir uzay olsun ve $X\times Y$ Hausdorff olmasın.

Bir $y \in Y$ icin $A = X \times \{y\} \subset X \times Y$ altuzayı $X$'e homeomorftur. $A$ Hausdorff ama $X \times Y$ değil.

Ya da reel sayılar üzerinde şöyle bir topoloji tanımla: U açık ancak ve ancak Standard topolojide açık olan bir $V$ için $U=V\cap (0,1)$ ise. Bir de işte tüm kümeyi falan eklemek gerekiyor ki bu bir topoloji olsun. Şimdi bu yeni toplojide kendimizi $A = (0,1)$ aralığına kısıtlarsak her şey standart topoloji gibi. Dolayısıyla Hausdorff. Ama bu aralık dışındaki hiçbir şeyi ayiramiyoruz.

Acaba "her A için" falan diye degistirsek soruyu o zaman olur mu?

---

Başlıktaki soru ile sorudaki ilk cümle iki  farklı önerme.

Ozgur ün belirttiği gibi, bir $A$ için sorudaki önerme doğru olmaz. Her $A\subseteq X$ için dersek de ($A=X$ alarak) aşikar olur.

Bir de "$X$, $A$ dan daha ince" ne demek?

---

Topolojilerin karşılaştırılmasında kullanılan bir terim.Şöyle ki,

$X$ bir küme, $£$ ve $€$ $X$ üzerinde iki topolojik uzay olsun. Eğer $£$$\subseteq$$€$ ise $€$, $£$ den daha ince (malzemesi fazla)dır denir.

---

O cumlede ayni kume uzerinde iki topoloji yok, sadece iki kume var. O nedenle "ne demek" diye sordum.

---

Haklısınız hocam, topolojiler arasında karşılaştırma yapmalıydım.