Question

$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu  $\forall x,y\in\mathbb{R}$ ;

$f(x)\le x$    &   $f(x+y)\le f(x)+f(y)$  koşullarını sağlıyorsa $f$ fonksiyonunu bulunuz.

Comments

$$f(x)=x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu söz konusu koşulu sağlar.

---

hocam tamam ama bulurken hangi yontemleri kullanmali.

---

hocam bu yazdıgınızı cevaba alabılır mısınız ? ılgılı bır soru sorucam.Teşekkürler.

Answer 1

$$f(x)=x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu söz konusu koşulu sağlar.

Answer 2

$2f(0)=f(0)+f(0)\ge f(0+0)=f(0)$

$0\ge f(0)\ge 0$ yani

$f(0)=0$

$\forall x \in \mathbb R$ için;

$0=f(0)=f(x+(-x))\le f(x)+f(-x)$


$-f(-x)\le f(x)$ olur

$-x\ge f(-x)$ oldugundan

$\forall x \in \mathbb R$ için;

$f(x)\ge -f(-x) \ge x$ olur

$x\ge f(x)$ oldugundan

$x\ge f(x)\ge -f(-x) \ge x$

$\forall x\in \mathbb R$

$f(x)=x$    $\Box$