$(a_n)$ dizisinin dokuzuncu terimi kaçtır?

Question

$a_1=3$ ve $n \geq 1$ için,

$a_n=\frac{a_{n+1}}{1+n.a_{n+1}}$ 

koşulunu sağlayan $(a_n)$ dizisinin dokuzuncu terimi kaçtır?

Comments

Teker teker gitmeden çözmenin yolunu çıkaramadım.

---

denklemini istiyorsun ozaman:)

---

Yani, makbule geçer :)

---

soruyu revize edip formülü sor  o zaman :) sevgili SEB yakup:)

---

$9$ defa o işlemi yapacak hoca olduğunu düşünmüyorum, formül gelir elbet :)

---

formül için bir tahmın yapılır ama burada bır tahmın yapamıyorum dolayısıyla n için dogruysa n+1 için de dogrudur diyemiyorum, $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1-n.a_n}$ yaptım gerısınde ugraştım ama birşey cıkmadı.

---

Ben de öyle yaptım ama aynen, çıkmıyor sanki.

---

TAHMIN GEREK .ve gayet tutarlı olmalı.

---

Çözdüm. Yazıyorum şimdi.

Answer 1

$a_n=\frac{a_{n+1}}{1+n.a_{n+1}}$ olduğuna göre her iki tarafın çarpma işlemine göre tersini alırsak

 $\frac{1}{a_n}=\frac{1+n.a_{n+1}}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}}+n\Rightarrow \frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n+1}}=n$ denklemini elde ederiz. Sonrası kolay,

$\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}=1 \\ \frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3}=2 \\ \vdots \\\frac{1}{a_8}-\frac{1}{a_9}=8$

yazdıktan sonra taraf tarafa toplarsak $\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_9}=36$ olur. O halde $\frac{1}{3}-\frac{1}{a_9}=36\Rightarrow a_9=-\frac{3}{107}$ olmalıdır.

Comments

teleskopik mantıgı denemek üzereydim :) 

---

Ben teleskop bilmem ama soruya iyi takla attırdım :)

---

tebrikler.             

---

Teşekkürler sayın FY Anıl :)