Uzayda Çember Denklemi

Question

$R^3$ uzayında bir $E : ax+by+cz+d=0$ düzleminde $P\in E$ olacak şekilde bir $P(x_0,y_0,z_0)$ noktası belirleyelim. $E$ düzlemi üzerinde, $P$ merkezli ve $r$ yarıçaplı bir çember çizilirse, denklemi ne olur?

Comments

$\mathbb R^2$ de doğruyu tanımlayabiliyor musun?

---

Neden tanımlayamayayım?

---

ben tanımlayamadım tam , ama sıra sıra gıdelım dıye dedım, dogru, çember, küre vs vs.

---

http://matkafasi.com/16598/hiperbolun-tanimlari-denklemleri-denklemleri-yontemiyle

---

$d \in R^2$ olmak üzere $d: ax+by+c=0$ olabilir mesela.

---

lınktekıler gıbı nasıl tanımlarsın?

---

Onlar kompleks düzlemde değil mi? İkisi aynı olmayabilir, tam bilmiyorum ben de sallamayalım :)

---

ardımedin                  

Answer 1

Bu çemberin noktaları hem düzlem üzerinde hem de $P$ merkezli $r$ yarıçaplı küre üzeinde olmalıdır, yani hem $ax+by+cz+d=0$ hem de $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-r^2=0$ olmalıdır. Her ikisini de sağlayacak tek bir denklem kareleri toplamını kullanarak bulunabilir

Comments

Ekleme yaparsak: 

$(a,b,c)$ bu duzlem uzerindeki her vektore dik, yani $(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ ile carpimi $0$ olur. $c\ne 0$ olsun. Buradan denklemi $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+\frac1{c^2}\left(a(x-x_0)+b(y-y_0)\right)^2=r^2$$ olarak yazabiliriz. 

Bunu zaten iki denklemi cozerken de gosterebiliriz, diklige girmeden. $d=-(ax_0+by_0+cz_0)$ bilgisi ve $z=\frac1c(d-ax-by)$ bilgisi ile.. ikinci denkleme koydugumuzda ayni sonucu ekde ederiz.

Beklenen de iki degiskene bagli olmasi.