1$f: [0,1] \to \mathbb R$ surekli olsun. (Bu durumda Riemann integrallenebilir). $P_n$ parcalanisi da uc noktalari $$\left\{x_i=\frac{i}{n} \:\bigg| i=0,1,\cdots,n \:\right\}$$ olan parcalanis olsun. Bu durumda her zaman $$\int_{[0,1]}f =\lim_{n\to \infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n}f\left(\frac{i}{n}\right)$$ esitligi saglanir mi?
Ek: Sureksiz bir $f$ fonksiyonu icin esit olmak zorunda degil. Dirichlet fonksiyonu buna ornek.
Soruya Ekleme: (Buradan ispati yakalayabilir miyiz?)
Teorem:
$f: [a,b] \to \mathbb R$ fonksiyonu surekli ise Riemann integrallenebilir.
Ispat:
$f$ fonksiyonu $[a,b]$ araliginda surekli oldugundan sinirli ve duzenli surekli olur.
$\epsilon >0$ verilsin. $f$ duzenli surekli oldugundan oyle bir $\delta>0$ degeri vardir ki $x,y \in [a,b]$ icin $$|x-y|<\delta$$ sarti saglandiginda $$|f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{b-a}$$ olur.
Her $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ icin $|I_k|<\delta$ olacak sekilde bir $P=\{I_1,\cdots, I_n\}$ parcalanisi secelim.
(Not: Her $\delta>0$ icin $n>(b-a)/\delta$ esitligini saglayan bir $n$ dogal sayisi vardir). $$M_k=\sup_{I_k}f\;\;\; \text{ ve } \;\;\;m_k=\inf_{I_k}f$$ olarak tanimlayalim. Maksimum-Minimum teoreminden ($f$ fonksiyonu $[a,b]$ kapali araligi uzerinde surekli olduugundan) $$M_k=f(x_k) \;\;\; \text{ ve } \;\;\; m_k=f(y_k)$$ olacak sekilde $x_k,y_k \in I_k$ vardir. $|I_k|<\delta$ oldugundan $$|x_k-y_k|<\delta$$ olur. Bu nedenle her $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ icin$$M_k-m_k=f(x_k)-f(y_k)<\epsilon/(b-a)$$ olur.
$$U(f,P)-L(f,P)=\sum_{k=1}^nM_k|I_k|-\sum_{k=1}^nm_k|I_k|=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)|I_k|$$ $$<\frac{\epsilon}{b-a}\sum_{k=1}^n|I_k|=\epsilon$$ olur. Dolayisiyla $$U(f)=L(f)$$ olur, yani $f$ Riemann integrallenebilir.