Hatalı Yaklaşım
$2,7=2.10^0+7.10^{-1}+0.10^{-2}+0.10^{-3}+...........$ diye yazabilirim.
$\pi=3.10^{0}+1.10^{-1}+4.10^{-2}+1.10^{-3}+5.10^{-4}+9.10^{-5}+...........$ yalnız burada ,irrasyonel olmasının nedeni sonsuza doğru giden ve tekrar etmeyen(bizim bildiğimiz veriler ışığında) bir sayı olması.
peki $\pi^2$ için ne diyebiliriz?
$h(x)=h_0+h_1.x+h_2.x^2+h_3.x^3+...$ gibi olan sonsuz polinom ile bir sonsuz polinomu daha çarpıyormuş gibi $\pi$ yi de öyle çarpalım.
$\pi=3.10^{0}+1.10^{-1}+4.10^{-2}+1.10^{-3}+5.10^{-4}+9.10^{-5}+...........$
$\pi=3.10^{0}+1.10^{-1}+4.10^{-2}+1.10^{-3}+5.10^{-4}+9.10^{-5}+...........$
$(\times)$
$-------------------------------$
2 polinomu çarparsak ve $10^\ell$ yani aynı cinsten olanları (elmaları ve armutları) toplar yazarsak görüceğizki sonsuza doğru hiç bitmeyen ve aynı şekilde tekrar etmeyen sayılar silsilesi.
bu da sadece $\pi^2$nin irasyonelliğini değil $k\in\mathbb [1,\infty)\in \mathbb Z$ için $k.\pi$ 'nin de irasyonelliğini gösterir