Çokgenin İç Açıları Formülü

Question

Bu formül nereden geliyor? Tümevarımla çok tatlı bir kanıtı var.

Comments

Tumevarim sonucu bana dokunur mu:)

Answer 1

Düzgün çokgenler için düşünürsek, bir n-genin çevrel çemberini çizelim. Eşit kirişlerin eşit yayları kesiyor malum. O zaman her bir kiriş $\frac{360}{n}^o$'lik bir yayı keser. Herhangi bir köşeden $n-2$ kiriş görüldüğüne göre, herhangi bir köşedeki $\alpha$ açısı $\frac{360(n-2)}{2n}$ buluruz. $n$ tane kenar olduğuna göre çokgenin iç açılar toplamı $\frac{360(n-2)}{2n}.n=180(n-2)$ olduğu görülür.

Comments

Guzelmis. Ben bilmiyordum bunu. Tumevarimla dedigim yontem, duzgun olmayan cokgenler icin de calisiyor. Ve guzel bir tumevarim alistirmasi.

---

Aslinda daha iyi bir fikrim var. Herhangi bir koseden cizilen $n-3$ kosegen $n-2$ adet ucgen olusturur. Olusan tum ucgenlerin koseleri cokgen uzerinde olduguna gore ucgenlerin ic acilari toplami cokgenin ic acilari toplamini verecektir. Dolayisiyla n-genin ic acilari toplami $(n-2)180$ bulunur.

Answer 2

Bir $n$ genin her üçgenlemesinin $n-2$  üçgenden oluştuğunu göstermek istiyoruz. $n=3$  için böyle bir üçgenleme (yalnız bir üçgen) vardır. $n\gt 3$ olsun ve çokgenin bir üçgenlemesindeki üçgen sayısını $Ü(Ç)$ ile gösterelim. Şimdi çokgeni  $Ç_1$  ve  $Ç_2$  gibi iki alt çokgene ayıracak şekilde uygun bir köşegenini çizelim. O zaman tüme varım varsayımından $$Ü(Ç)=Ü(Ç_1)+Ü(Ç_2)=n_1-2+n_2-2=n_1+n_2-4$$  yazılabilir. $Ç_1$  ve  $Ç_2$   çokgenlerinin her biri kenar sayısını $1$  arttıracağından $$n_1+n_2=n+2$$  olur ve dolayısıyla $$Ü(Ç)=n-2$$  bulunur.

Comments

Peki `iki alt çokgene ayıracak şekilde uygun bir köşegen' her zaman var mi? 

---

Doğrusal olmayan üç nokta ile üçgen oluşacağından her zaman olması lazım. Ancak kendi kendini kesen çokgenlerde durum farklı olabilir; örneğin çapraz dörtgende olduğu gibi.