Trigonometrik eşitliğin ispatını karmaşık sayılar yardımıyla yapabilir miyiz?

Question

$\frac{1}{cos6}=\frac{1}{sin12}-\frac{1}{sin24}-\frac{1}{sin48}$ eşitliğini karmaşık sayılar yardımıyla doğrulayınız.

Comments

normal olarak ispatladım ama , karmaşık sayı cinsinden yazmak için de bir birleştirmeye ihtiyacımız var ama bence mümkün.

Answer 1

$z$ karmaşık sayısı $$z=cos6+isin6$$ olsun. O takdirde $$z^{15}=cos90+isin90=i$$ olur. 

$$z^2=cos12+isin12=2cos^26-1+2isin6.cos6=2cos6(cos6+isin6)-1$$

$$z^2=2cos6.z-1\Rightarrow cos6=\frac{z^2+1}{2z}$$ Benzer düşünüşle $$sin12=\frac{z^4-1}{2iz^2},\quad sin24=\frac{z^8-1}{2iz^4},\quad sin48=\frac{z^{16}-1}{2iz^8} $$ olur.Bulunan bu değerler soruda verilen eşitlikte yerlerine yazılırsa,

$$\frac{2z}{z^2+1}=\frac{2iz^2}{z^4-1}-\frac{2iz^4}{z^8-1}-\frac{2iz^8}{z^{16}-1}$$

$$\frac{1}{z^2+1}-\frac{iz}{z^4-1}=\frac{iz^3}{z^8-1}-\frac{iz^7}{z^{16}-1}$$

$$\frac{z^2-1-iz}{z^4-1}=\frac{iz^3(z^8-1)-iz^7}{z^{16}-1}=\frac{iz^{11}-iz^3-iz^7}{z^{16}-1}$$

$$\frac{z^2-1-iz}{z^4-1}=-iz^3\frac{z^8+1+z^7}{i.z-1}$$

$$(z^2-1-iz)(iz-1)=(-iz^7+iz^3)(z^8+1+z^7)$$ Buradan parantezler açılırsa gerken işlemler yapılırsa, $1=-i^2$ eşitliği çıkar ki bu da ispatı bitirir.

Comments

elinize saglik .