cantor sanısı

Question

Aslında bu bir sanı degil gayet de ispat ı var diye biliyorum fakat bi kitapda denk gelmiştim ve turkcede kaynak bulamadım yada ben fazla araştırmadım.

Cantor a göre (ki bana göre real matematigin kurucusudur. Dedekind le de arasının iyi oldugu söylenir)

bir birim uzunlugundaki dogru parçası tüm uzayla eşsayılıdır.

Cantor bunun ispatını da vermiş sanırım ki vermiştir de yani

Hocama söylediğimde Tabi hatta R^sonsuz (R ussu sonsuz) la da eşdegerdir diye bi cevap aldım.

Eğer bilen eden varsa ispata ulaşan yol gösterme filan fikri olan açıklarsa sevinirim.

Comments

Yol gösterebilirim. Tanjant fonksiyonun grafiğine bak. Eğer eşsayılı olmanın aralarında birebir ve örten bir fonksiyon olması demek olduğunu biliyorsan, tanjant fonksiyonun grafiği sana pi uzunluğunda doğru parçasıyla reel sayılar arasında bir eşleme verecek. Bu fonksiyonu biraz oynayarak bir uzunluğunda doğru parçasıyla eşleme verecek şekle sokabilirsin. 

---

gayet tabi tanx (-pi/2,pi/2)  R ile essayılıdır mesela hatta tanjant ın artalıgından dolayı bu fonksiyon tektürlü yazılır.

aslında söyle bi mantık geldi aklıma ben R^n ile izomorflulugunu göstermek istiyorum da

su olur sanırım                     f(x) = x /1 + |x|    (0,1)   R arası eslemedir

simdi R^2 ile R^n arası bir dönüsumde bu isi çözer gibi

biraz lineer cebir tazelemek gerekiyo . Burda sunu yapıyoruz bi boyutta yasayan herseyi 2 boyutta yasattık 2 boyutu n boyuta n yi de sonsuz boyuta çıkarıcaz

---

@hllnvr 

1- "mesela hatta tanjant ın artalıgından dolayı bu fonksiyon tektürlü yazılır." ne demek?

2- $\mathbb{R}$ ile $\mathbb{R}^2$ arasında kurman yeter.

3- Lineer kesinlikle olmaz.

Answer 1

Ben $(0,1)\times (0,1)$ ile $(0,1)$ arasında bir fonksiyon söyleyim. Benzer şekilde $(0,1)^\infty$ ile $(0,1)$ arasında bulabilirsin. 

$f:(0,1)\times (0,1)\rightarrow(0,1)$, 

$f(0,a_1a_2a_3\ldots\ ,\ 0,b_1b_2b_3\ldots)= 0,a_1b_1a_2b_2a_3b_3\ldots$ 

Comments

$(0,1)^{\infty}$ çarpım mı koçarpım mı? Çarpım ise Cantor'un köşegen argümanı bize bunların eşsayılı olamayacağını vermez mi yine?

---

Haklısınız. Cevabımdaki 2. Cümleyi Gözardı ediniz. 

---

Özgür, $(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0 . \aleph_0}=2^{\aleph_0}$ olduğundan $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ ile $\mathbb{R}$ aynı kardinalitededir. Dolayısıyla Cenk Hoca'nın orijinal iddiası doğru.

$2^{\mathbb{N}}$ ile $2^{\mathbb{N} \times \mathbb{N}}$ arasında bir eşleme bulduktan sonra bunu $(0,1)$ ve $(0,1)^{\mathbb{N}}$ arasındaki bir eşlemeye dönüştürmek zor değil. Bahsi geçen ilk eşlemeyi bulmak için de $\mathbb{N}$ ve $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ arasındaki bir eşleme kullanılabilir.

---

Eyvallah, galiba neyi yanlış düşündüğümü anladım.