$\displaystyle\sum _{n=-\infty }^{0}\left( \begin{matrix} \dfrac{3} 2\end{matrix} \right) ^{n}$ işleminin sonucu ?

Question

$\sum _{n=-\infty }^{0}\left( \begin{matrix} \dfrac{3} 2\end{matrix} \right) ^{n}$

işleminin sonucu ?

Comments

hadi n yerine - sonsuz yazdık ama hiçbir zaman 0 a gidemeyecekki :)

$-\infty+1=-\infty$ olacak .Bence bıraz sıkıntılı soru.

---

 Cevap 3 mü? Eger oyle kabul edilmisse 0 a dogru giderken n icin... -3, -2, -1, 0 degerlerini verirsek ortak çarpan 2/3 oluyor ama -sonsuz yazmadik sonucta emin degilim. 

---

$\sum$ fonksiyonunun kuralı, alt indise yazılan alt değere +1 ekleye ekleye üst indise doğru yol almak.
Ama bu soruda hiçbir zaman - sonsuz içinden çıkamayız dolayısıyla tanımsız olur.Ama mantıgı bır kenara bırakıp bir şekilde 0 a varabileceğimizi düşünürsek dediğin gibi oluyor.

---

bende şimdi -sonsuz verince 0 oluyo dan başladım,her eksi değer için 2/3 katı gibi olurdan n =0 için 1 olur dedim.toplamı tersten başlatsak ilk terim 1 olsa.aradaki farkıda 2/3 olur filans yaptım.zaten 0 ın bi şeysi yok.böyle düşündüm.anıl hatam varsa söyleme kendimi bişey sanayım 5 dakkalığına ^^

---

bana sormadan sorumu kim beğeniyor yaw ?

SPOİLER:teşekkür ederim

---

$$\sum_{n= - \infty}^0 f(n)$$ demek $$\lim_{k  \to - \infty} \sum_{n=k}^0 f(n)$$ demek. Hemen hemen her yerde sonsuz seriler bu şekilde limit cinsinden tanımlanır.

---

@Ozgür peki,

$\lim\limits_{k\to-\infty}\displaystyle\sum_{n=k}^{0}f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(-n)$ diyebilir miyiz?

---

@Ozgur,

size hocam diyebilirmiyim ?

---

Foton, ispatlayabilirsin dedigini. Bi dene.

---

haydi foton Türkiye seninle !!

Answer 1

bu soru cidden sıkıntılı olabilir ama neyse.

Bir şekilde - sonsuzdan çıkıp 0 a ulaşalım.

Hatta 0 dan eksi sonsuza geri geri gidelim ne olucak ki?


$\displaystyle\sum_{n=-\infty}^0\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=\left(\dfrac{3}{2}\right)^0+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-1}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-3}+.............+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-\infty}$

Bu aynen şuna benziyor,

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$  o zaman bunu çözelim.

http://matkafasi.com/69068/arasindaki-herhangi-sayinin-sonsuza-serisi-formulunun-ispati?show=69068#q69068

buradaki ispat gereği

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^0\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=\dfrac{1}{1-\frac{2}{3}}=3$ dür deriz.

Comments

Madem sikintili, neden cevap veriyorsun?

---

bende onu dıyorum işte      

---

ya ispatlayabilirsin dedinizde,benim tek anlamadığım, $-\infty$ den +1 +1 +1 yapa yapa nasıl 0 a ulaşıcagımız?

---

Öyle yapmayacağını söyledim ama ben sana yukarıda? O sembolün ne anlama geldiğini, onun bir limit olduğunu söyledim. Hala eski sonsuzdan artı bir yapa yapa dediğine göre anlatamamışm

---

Sindirmesi benim için zor, evet yukarıda yazılanı daha önceden de biliyordum ,hasolmayan integrallerde integrasyon yaparken ama benim anlamadıgım noktaya tam olarak bir cevap oldugundan emın olamıyorum, siz benden kat kat daha bilgiye birikime sahip oldugunuzdan size çok yatkın gelebilir ama $k\to \infty$ iken ve biz $(k+1,k+2,k+3,.........,0)$ diye gidiyoruz ama bir an için $k\to \infty$ olduğunu düşününce ben , arafa giriyorum, ve sonsuzluk hakkında yaptıgımız bu şeyler sadece bir kabul ve ben başka birşey kabul etseydım de dogru olurdu(bazılarına göre) tıkandıgım nokta budur.

---

Ve ek olarak hiçbir limiti falan işin içine karıştırmadan neden düşünemiyoruz? Ben ,sorunun soruluş şeklinde tıkanıp kalıyorum ama siz bir limit kabulu yapıp ondan sonra bir yorum yapıyorsunuz ,belkide tüm dünyanın yaptıgı , sonsuzluk hakkındaki bu tutumlar bizi sürekli işin içinden çıkılmaz paradokslara sürüklüyordur? Belki de :)

---

Bir an için sağdan sola doğru yazdığını düşün her şeyi. Soldan sola değil. Aslında yazdığın şey tamamen $+\infty$ durumu gibi. Elinde sonsuz çoklukta sayı var. Bunların toplamını anlamlı bir şekilde tanımlamak istiyorsun. Bu soruda tabii ki eksi sonsuzdan başlayıp yukarı çıkmak anlaması zor bir şey, çünkü anlamlı değil. Eksi sonsuz diye bir yer yok çünkü. Ama "sıfırdan başlayıp aşağı inebilirsn." Bu gayet doğal bir tanım olur. Aynı artı sonsuz durumundaki gibi. 

---

Limit sadece söylemek istediğimiz şeyi daha sade bir şekilde ve kimsenin kafasını karıştırmadan söylemeye yarıyor. Evet bir kabul yapıyoruz: Ama bu kabul sadece sembolün neyi anlattığı ile ilgili bir kabul. Başka bir kabul yok ortada.

---

oyuzden size

@Ozgür peki,

$\lim\limits_{k\to-\infty}\displaystyle\sum_{n=k}^{0}f(n)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(-n)$ diyebilir miyiz?

diye yazdım aynı şeylerden bahsediyoruz ve sizi gayet iyi anlamışım (bence, galiba).

---

Evet. Sercan cevabını vermiş diye ben cevap vermedim ona. Tıkanmamışsın demek ki.

---

allahım nelere vesile oluyorum ^^

---

Düzeltme: Sembolün neyi anlattığı değil kabulümüz, anlattığımız şeyi hangi sembol ile göstereceğimiz. Önce fikir var, sonra sembol.