A ve B matrisleri $m×m$ tipinde iki matristir. Buna gore $(A+B)^2$ ifadesi neye esittir?

Question

Neden $A^2+2AB+B^2$ seklinde olmuyor?

Comments

$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+A.B+B.A+B^2$ dir.  $A.B\neq B.A$ olduğundan $(A+B)^2\neq A^2+2A.B+B^2$ dir.

---

Normal cebırsel işlemler genelde geçerli olmaz.
Hem $A+B$ yapıp kare almak diğerinden daha basit :)

---

Cevaplar özdeslik seklindeydi de o nedenle oyle yapamadim, tesekkurler :)

---

aynen oyle , Mehmet hocamızın yazdıgını aynen yazmıştım ama sıldım ve bu acıklamayı yeterlı gordum.Hocamızın verdıgı çürütme yeter artar :)

---

$AB=BA$ olmayan bir ornek verirsek daha iyi anlasilir bence. Verebilir misin Emel, zor degil. $2\times 2$ icin deneyebilirsin.

---

Olur hocam yazayim 

---

Ek bir teorem yazıyorum kare matrislerle ilgili belki vardır belki yoktur :)

---

Genel olarak $AB = BA$ esitligi saglanmadigi dogrudur. Ama bazi ozel durumlarda saglanir. Ornegin, $A = B$ ise $AB = A^2 = BA$ olur. Ya da $A = 0$ sifir matrisi ise, $AB = 0 = BA$ olur., ya da $A = I$ birim matiris ise $AB = B = BA$ olur. fotonyiyenadamin cevabinda sanki butun $A, B$ matrisleri icin $AB = BA$ esitligi imkansizmis gibi duruyor. Ama, $a,b,c,d$ sayilari verildiginde $x,y,z,t$ sayilarini dogru secersek (burada denklem cozmek gerekiyor biraz) bu esitlik saglanir.

Ek soru: Hangi $A$ matrisleri butun $B$ matrisleri icin $AB = BA$ esitligini saglar ($A, B$ iki carpi ikilik matrisler olsun. Ama bes carpi bes olsa da cevap ayni olacak)?? Yani ben hangi $B$ matrisini secersem seceyim, $AB = BA$ esitligini saglayacak $A$ matrislerini ariyorum. Bu soruyu biraz cebir diline hakim birisine matris halkasinin merkezi nedir diye sorabilirsiniz. Cevabi da cok zor degil.

---

"Bu cevaplar sadece "AB=BA" eşitliği çoğu zaman sağlanmaz diyor mesela $A=B$ alırsak sağlanacağı barizdir." diye ekledim

Ek sorunuza bakacağım ve çok kolay bir şeyi ben , yeni keşfettim :)

$A_{i\times i}=\left[ \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3& \cdots& a_i \\a_6&a_7&a_8&\cdots&a_{2i}  \\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{3i}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots& \vdots\\ a_{(i^2-i+1)}&a_{(i^2-i+2)}&a_{(i^2-i+3)}&\cdots& a_{i^2} \end{matrix} \right]$

olarak yazarsak ve aynı şekilde $b_i$  lerle yazılan bir $B$ matrisi alırsak bu iki matrisi $AB$ diye çarptığımızda diyelim $a_kb_j$ diye sıralanıyorsa $BA$ gibi çarptıgımızda her terimin $a_jb_k$ olarak değiştiğini keşfettim.

---

Guzel kesif. Islemleri kolaylastirmak icin $a_{ij}$ notasyonunu kullanabilirsin. $i$ hangi satirda, $j$ hangi sutunda oldugunu soyluyor.

---

ayrıca sızın sorunuz ıçın de dogrudan bir cevap nıtelıgı taşıyabilir ben iyice açıklayayım ve yazayım, örnek olarak soruyu cozer bır iki örnek verırım.

---

Her zaman icin dogru mu emin degilim ama iki kösegen matrisin carpiminda da degisme özelligi var. Ve diger soru icin de $A$ yi skaler matris secersek o şart saglaniyor sanirim.

---

@Emel evet. Köşegen matrisler birbiriyle yer değiştirir çarpma işleminde. Çarpılmaları da çok kolaydır. 

Diğer soru için: Haklısın, skaler matrisler diğer bütün matrisler ile yer değiştirir. Bunun tersi de doğrudur. Yani  eğer bir matris diğer tüm matrisler ile yer değiştirebiliyor ise skaler matris olmalıdır. Bunu kanıtlayabilirsen soru biter. İpucu: $A(i,j)$ matrisi $i$'inci satır $j$'inci sütünunda $1$, diğer girdilerinde sıfır olan matris olsun. Eğer $X$ matrisi diğer bütün matrisler ile yer değiştirebiliyorsa, $A(ij)$ ile de yer değiştirebilmeli. O zaman bu matrisi $X$ ile bir sağdan carpalim, bir soldan carpalim. Ne gözlemleriz?

---

$X.A=A.X$ esitligi görülür

Answer 1

Emel'e ek olarak biraz genişletirsek,
Bu cevaplar sadece "AB=BA" eşitliği çoğu zaman sağlanmaz diyor mesela $A=B$ alırsak sağlanacağı barizdir.


$A=\left[ \begin{matrix}a & b\\ c&d \end{matrix} \right]$

$B=\left[ \begin{matrix} x&y \\ z&t \end{matrix} \right]$

$A.B=\left[ \begin{matrix} ax+bz&ay+bt \\cx+dz &cy+dt \end{matrix} \right]$


$B.A=\left[ \begin{matrix} ax+cy&bx+dy \\ az+ct&bz+dt \end{matrix} \right]$

aşikar olan şu ki


$A.B\neq B.A$


$\left[ \begin{matrix} ax+bz&ay+bt \\cx+dz &cy+dt \end{matrix} \right]\neq \left[ \begin{matrix} ax+cy&bx+dy \\ az+ct&bz+dt \end{matrix} \right]$

Ve hatta ve hatta,


$A= \left[ \begin{matrix} a_1&a_2&a_3\\  a_4&a_5&a_6  \\ a_7&a_8&a_9 \end{matrix} \right]$


$B= \left[ \begin{matrix} b_1&b_2&b_3\\  b_4&b_5&b_6  \\ b_7&b_8&b_9 \end{matrix} \right]$


$BA=\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_4b_2+a_7b_3\;,&a_2b_1+a_5b_2+a_8b_3\;,&a_3b_1+a_6b_2+a_9b_3\\  a_1b_4+a_4b_5+a_7b_6\;,&a_2b_4+a_5b_5+a_8b_6\;,&a_3b_4+a_6b_5+a_9b_6  \\  a_1b_7+a_4b_8+a_7b_9\;,&a_2b_7+a_5b_8+a_8b_9 \;,&a_3b_7+a_6b_8+a_9b_9 \end{matrix}\right]$


$AB=\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_2b_4+a_3b_7\;,&a_1b_2+a_2b_5+a_3b_8\;,&a_1b_3+a_2b_6+a_3b_9\\  a_4b_1+a_5b_4+a_6b_7\;,&a_4b_2+a_5b_5+a_6b_8\;,&a_4b_3+a_5b_6+a_6b_9  \\  a_7b_1+a_8b_4+a_9b_7\;,&a_7b_2+a_8b_5+a_9b_8 \;,&a_7b_3+a_8b_6+a_9b_9 \end{matrix}\right]$

olduğundan

$$A_{3\times 3}.B_{3\times 3}\neq B_{3\times 3}.A_{3\times 3}$$$$\Longleftrightarrow$$ $$\left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_2b_4+a_3b_7\;,&a_1b_2+a_2b_5+a_3b_8\;,&a_1b_3+a_2b_6+a_3b_9\\  a_4b_1+a_5b_4+a_6b_7\;,&a_4b_2+a_5b_5+a_6b_8\;,&a_4b_3+a_5b_6+a_6b_9  \\  a_7b_1+a_8b_4+a_9b_7\;,&a_7b_2+a_8b_5+a_9b_8 \;,&a_7b_3+a_8b_6+a_9b_9 \end{matrix}\right]\neq \left[ \begin{matrix} a_1b_1+a_4b_2+a_7b_3\;,&a_2b_1+a_5b_2+a_8b_3\;,&a_3b_1+a_6b_2+a_9b_3\\  a_1b_4+a_4b_5+a_7b_6\;,&a_2b_4+a_5b_5+a_8b_6\;,&a_3b_4+a_6b_5+a_9b_6  \\  a_1b_7+a_4b_8+a_7b_9\;,&a_2b_7+a_5b_8+a_8b_9 \;,&a_3b_7+a_6b_8+a_9b_9 \end{matrix}\right]$$

Answer 2

$A=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 3& -2\end{matrix} \right] $ ve $B=\left[ \begin{matrix} 0& 2\\ 1& 1\end{matrix} \right] $ matrisleri icin:

$AB=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 3& -2\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0& 2\\ 1& 1\end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0& 2\\ -2& 4\end{matrix} \right]$

$BA=\left[ \begin{matrix} 0& 2\\ 1& 1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 3& -2\end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 6-4\\ 4-2\end{matrix} \right]$

Görüldügü gibi $AB\neq BA$' dir.