Question

$\displaystyle\int^{4}_{0}\left( \sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}\right)dx$ ifadesinin eşiti nedir?

Comments

hangı yolları denedıgınızı de eklersenız daha güzel faydalanabılırsiniz.

---

eşlenik ile yapmayı denedim , ama paydaya bir yorum gelmedi sonra çemberde zor gözüküyor

---

ben birşeyler yazıcagım, ayrıca integral için \displaystyle\int kullanırsanız daha hoş integral çubuğu oluşucaktır.$\displaystyle\int$ gibi

---

Anladım daha yeni başladım alışırım zamanla umarım teşekkürler

---

Kök içlerini $4^2-(x-4)^2$ ve 

$ 2^2-(x-2)^2$ şeklinde düşünebilirsiniz.

İntegral förmüllerinde bunların  benzeri var mı diye bakın.

---

aynen ben de böyle  yazdım  yemege gitim geldim şimdi bitiriyordum :)

---

Geometrik (integralin alan hesaplıyor olması) olarak düşünmeyi denedin mi?

---

Dogan hocam $\displaystyle\int\sqrt{16-(x-4)^2}d(x-4)$ gibi  yarı çember gibi düşünmekten bahsediyorsunuz sanırım .

---

Geometrik cevap eklendi , dönüşümlere ek açıklama yapıldı.saygılar.

Answer 1

çok odunumsu olan diğer çözümüm haricinde bir çözüm daha var.

$x-4=u$ 

ve

$x-2=t$   dönüşümünden,

$\displaystyle\int^{4}_{0}\left( \sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}\right)dx=\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du-\displaystyle\int^{2}_{-2}\sqrt{4-t^2}dt$  olur bunları yarım çemberler olarak düşünerek te yapabiliriz.

Bu görsel $\displaystyle\int^{2}_{-2}\sqrt{4-t^2}dt$ 'in alanıdır.


Bu görsel ise $\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{4-u^2}du$ 'nun alanıdır.



Görselleri matematiğe dökersel 1.görselde yarıçapı 4 olan çeyrek çemberdir ve alanı $4\pi$ dir

2. görselde yarıçapı 2 olan yarım çemberdir ve alanı $2\pi$ dir , farkları ise $4\pi-2\pi=2\pi$ gelir.

Ek açıklama,

$\displaystyle\int^{4}_{0}\left( \sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}\right)dx=\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du-\displaystyle\int^{2}_{-2}\sqrt{4-t^2}dt$

Bunu nasıl yazdım?

$\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du$   u göstererek diğerlerini de anlayabiliriz.

$\displaystyle\int^{4}_{0}\sqrt{8x-x^2}dx=\displaystyle\int^{4}_{0}\sqrt{16-(x-4)^2}dx$ burada $x-4=u$ dersem

üst sınır 4 olurken $x-4=0$ olur

altsınır 0 olurken $x-4=-4$ olur ve tüm integralde $x-4=u$ dersek


$\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du$

burada $du$ yazdım çünki $d(x-4)=du=dx$ olduğundan yazabildik.$\Box$

Comments

bu cevap daha güzel :D

---

Neden daha guzel?

---

Mantıklı, sıkıcı matematıksel işlemlerden daha kısa ve daha garantili(görüyorsun inanıyorsun daha çok hissediyorsun).

---

ilki de geometri. Burada integrallerin degerlerini kabul ediyorsun ve $\pi r^2$ diyorsun.

---

http://matkafasi.com/66055/alan-ne-demektir-ispatlayiniz?show=66055#q66055

KABUL, KABUL !!!

Answer 2

$\displaystyle\int\sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}dx=\underbrace{\displaystyle\int \sqrt{16-(x-4)^2}dx}_A-\underbrace{\displaystyle\int\sqrt{4-(x-2)^2}dx}_B$

$A$ için $x-4=4sinu$ 

$B$ için $x-2=2sint$ dönüşümleri yapalım.


$A=16.\displaystyle\int cos^2udu$

$B=4.\displaystyle\int cos^2t.dt$

şimdi ise ,

$cos2x=2cos^2x-1$ dönüşümünden faydalanalım ve,


$A=16.\displaystyle\int cos^2udu=16.\displaystyle\int \dfrac{cos2u}{2}du=16.\dfrac{sin2u+2}{4}+C=4.arcsin\left(\dfrac{x-4}{2}\right)+8+C_1$

$B=4.\displaystyle\int cos^2t.dt=4\displaystyle\int\dfrac{cos2t}{2}dt=4.\dfrac{sin2t+2}{4}+C=arcsin\left(x-2\right)+2+C_2$

$\displaystyle\int\sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}dx=A-B=4.arcsin\left(\dfrac{x-4}{2}\right)+8-arcsin\left(x-2\right)-2+C$

$\to 4.arcsin\left(\dfrac{x-4}{2}\right)-arcsin\left(x-2\right)+6+C$ olur ,belirli integral sınırlarını koyarsak,

$2\pi$ gelir.

Comments

Beni bilmem ama siz kesinlikle ODTÜ fizik veya matematik okumalısınız, çok başarılısınız, belkide okuyorsunuz teşekkürler emeğinize sağlık

---

yok ,okumuyorum seneye umarım, çok teşekkür ederim ama bu çözüm beni tatmin etmedi daha güzel çözümler olucaktır.

---

ikisi de dandik bolum.

---

daha iyisi ?        

---

ogrencinin iyi olmasi. 

---

hocam OTDÜ'yü zor bitirmişsiniz bir de ne diyorsunuz

---

Hocam üniversite hayatınızda çok yıpranmış gözüküyorsunuz ki lisans bölümleri böyle zaten , Türkiye de fazla ilerlenmiyor zaten bu bölümlerde yurtdışı inşallah , sadece diploma ve dil lazım. Diploma dil de öğrencinin iyi olması sonucu olurdu zaten

---

Düzeltme gereği görüyorum, Sercan hoca, odtü matematiği 3 senede bitiriyor.(o yüzden latifeledim kendilerini) .Ve haklısınız türkiyedeki lisans fakülteleri çok kötü, hele temel bilimler çöpe atılmış vaziyette.... bakalım, hayırlısı

---

Yurt disi da ayni, Odtu daha iyi bile diyebilirim. Simdi de yurt disi yipratmis olur:)

---

Hocam hakkınızda fazla birşey görmedim ondan:) Buralarda harcanıyorsunuz bence 3 yıl nedir yahu....Tebrik ederim ,

---

Buralarda niye harcansın yahu, sercan hoca dahil çok kaliteli hocalar var ,zaman geçirdikçe görebilirsin.

---

Sonunda olecegiz, her turlu harcanmis oluyoruz... Foton gibi kendimi adama dusuncem yok...

---

hocam , yazılı kagıdına

"Foton gibi kendimi adama dusuncem yok..."

  böyle yazmayın aman !!