Oklid, once bir cizgiyi, bir egriyi tanimliyor. Ondan sonra da dogrunun ne oldugunu tanimliyor.
http://mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/Dersler/113/2014/oklid-yunanca-turkce-2014-09.pdf
Linkte Oklid'in Ogeler adli eserinin 1. kitabinin Turkce cevirisi var. Kitabin en basinda tanimlar yer aliyor. Burada dogru, nokta, cember, dik aci vs. tanimlaniyor.
Buradaki tanima gore
(2) Ve bir cizgi, genissizlik uzunluktur.
(4) Bir dogru cizgi, esit olarak uzerindeki noktalara göre oturandir.
Burada aslinda sonlu cizgilerden, dogrulardan bahsediyor. Bizim anladigimiz anlamda dogrudan bahsederken bu dogru parcalarini sonsuza kadar uzatalim diyor. Ornegin 23. tanimda paralel dogrularin tanimi soyle:
(23) Paraleldir doğrular, aynı düzlemde bulunan ve sonsuza uzatılınca her iki tarafta, hiçbir tarafta çarpışmayan.
xxxxxx
Ote yandan, bir baska bakis acisi da soyle. Elimizde herhangi bir kume olsun. Kardinalitesi onemli degil, sonlu olabilir, sonsuz olabilir, sayilabilir olabilir, sayilamaz olabilir. Dogru dedigimiz seyler, bu kumenin bazi ozel alt kumeleri ve su ozellikleri sagliyorlar:
Birbirinden farkli her $A$ ve $B$ noktasi icin, bu noktalarin ikisini birden iceren bir ve yalniz bir $L$ dogrusu vardir.
Her dogru en az iki nokta icerir.
Ayni dogru uzerinde yer almayan (en az) 3 nokta vardir.
Bu 3 aksiyoma cesit cesit aksiyom ekleyerek afin uzaylar, izdusumsel uzaylar vs vs bircok degisik geometri yaratabiliriz. Ornegin, su aksiyomu eklersek elde ettigimiz uzaya afin uzay diyoruz: Her L dogrusu icin ve L dogrusunun disindaki bir $A$ noktasi icin, bir ve yalniz bir $L'$ dogrusu vardir $A$'yi iceren.
xxxxxx
Elimizde bir vektor uzayi $V$ olsun. Bu vektor uzayinda bir dogru dedigimiz zaman 1-boyutlu bir altuzay anliyoruz. Ornegin $\mathbb{R}^n$'de sifirdan farkli bir $v$ vektoru alalim. $v$ vektoru ile gerilen uzay $\{ av : a \in \mathbb{R}\}$'dir. Gercekten de bu bizim algimizdaki dogruya karsilik gelir. Mi? Tam olarak degil, cunku bunlar sadece orijinden gecen dogrular. Bunlari biraz oteleyebiliriz. Yani bizim algiladigimiz anlamda (!) dogrular (afin dogrular) sifirdan farkli herhangi bir vektorun tum reel katlarini bir $b$ vektoru ile otelemek. (Burada yanlis olabilirim. Herhangi bir $b$ vektoru is yapar mi?). En basit ornek alarak $\mathbb{R}^2$'yi al. Sifirdan farkli bir eleman alalim. Mesela $(1,2)$. O zaman, bu vektorle gerilen 1- boyutlu uzay $(x,2x)$ ikililerinden olusan $y = 2x$ dogrusudur.
xxxxxx
Bir vektor uzayi degil ama bir manifold olsa elimizde ne olur? Buna bir cevap verebiliyor olmam lazim ama veremiyorum. Iki nokta arasindaki en kisa mesafe nedir? gibi bir sorudan yola cikiyor olabiliriz.