Bir $f$ fonksiyonunun sol tersinin olması için gerek ve yeter koşul birebir olmasıdır. Gösteriniz.

Question

Yukarıda sözel ifadesini verdiğimiz teoremi formel olarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Teorem: $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \text{ birebir} \Leftrightarrow \left(\exists g\in X^Y\right)(g\circ f=I_X)$$

Comments

sağ terste ne değişiyor ?

---

örten olması.

Answer 1

Varsayalım ki $f:X\to Y$ bir  $g:Y\to X$ sol tersine sahip olsun. $f(x)=f(y)$  iken  $x=y$  olduğunu göstermek istiyoruz. $g$   bir sol ters olduğundan  $g\circ f(x)=g\circ f(y)$ ise  $x=y$  olur.

Şimdi $f:X\to Y$ birebir olsun. $f$ fonksiyonu birebir olduğundan  $f(a)=b$  olacak şekilde en fazla bir  $a\in A$ mevcuttur. Bu durumda $b\in B$  için  $g(b)=a$  şeklinde bir fonksiyon tanımlayabiliriz. O zaman $g(f(a))=g(b)=a$  olup $g$  fonksiyonu  $f$  fonksiyonunun sol tersidir.

Answer 2

Kanıt: 

1. DURUM: $X=Y=\emptyset$ için iddia doğrudur (Neden?)

2. DURUM: $X=\emptyset$  ve  $Y\neq \emptyset$ olamaz (Neden?)

3. DURUM: $X\neq \emptyset$  ve  $Y=\emptyset$ olamaz (Neden?)

4. DURUM: $X\neq \emptyset$  ve  $Y\neq \emptyset$ olsun.

$(\Rightarrow):$ $f$ fonksiyonu birebir olduğundan her $y\in f[X]$ için $y=f(x)$ olacak şekilde bir ve yalnız bir $x\in X$ vardır. Bu durumda $$g(y):=\left\{\begin{array}{ccc} x & , & y=f(x)\in f[X] \\ a(\in X)& , & y\in Y\setminus f[X] \end{array}\right.$$ kuralı ile verilen 

$$g:Y\to X$$ fonksiyonu istenen koşulu sağlayan bir fonksiyon olur. Şöyleki:

$$x\in X\Rightarrow (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=x.$$

$(\Leftarrow):$ $x_1,x_2\in X$  ve  $f(x_1)=f(x_2)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (x_1,x_2\in X)(f(x_1)=f(x_2)) \\ \\ \text{Hipotez} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow x_1=I_X(x_1)=(g\circ f)(x_1)=g(f(x_1))=g(f(x_2))=(g\circ f)(x_2)=I_X(x_2)=x_2.$