Question

$f^n=$  f(x) in n. Mertebeden türevi ve$ f(x)=x^n$ 

Olmak üzere,

$\dfrac{f'(1)}{1!}+ \dfrac{f''(1)}{2!}+\dfrac{f'''(1)}{3!}+ ....+\dfrac{f^n(1)}{n!}$

İfadesinin eşitini bulun

Comments

f(x)=x^n olarak verilmiş. 1'den n'e kadar türevleri bul, x yerine 1 yaz.

Örnek: f ' (x)=n $x^{n-1}$, f ' (1)=n olur.  

Bulduklarını sorulan ifadede yerine yaz.

---

Çözümü yazar mısınız

---

1.terim n,

2.terimi bulalım.

$ f''(x)=n(n-1) x^{n-2}$, f ''(1)=n(n-1)

Buradan 2.terimi n(n-1)/2 bulmuş olduk.

Devamını getirebileceğini sanıyorum.

Answer 1

$f^i(x)=n(n-1)\cdots(n-i)x^{i-1}$ oldugundan verilen ifadeyi ilk olarak genel $x$ icin yazarsak $$\sum\limits_{i=1}^n\binom nix^{i-1}$$ olur ve $x=1$ icin $2^n-1$ degerine esit olur.

Comments

Eyvallah  saolun. Bu arada telefonla da olsa latex le yazmaya çalışıyorum.

---

Eyvallah. Ben de arada tabletle yaziyorum, insan cildiriyor hakkatten. Tesekkurler ugrasin icin.

Answer 2

Digerbir cozum. Seri acilimi geregi $$x^n=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(1)}{n!}(x-1)^n=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(1)}{n!}(x-1)^n$$  esitligi saglanir. $x=2$ icin $$2^n=1+\sum_{k=1}^n\frac{f^{(k)}(1)}{n!}$$ esitligi saglanir.