Gerek kısmı aralık tanımından açık. Yeter kısmını kanıtlayalım. Bu kısım için dört durum söz konusu.
$1. \text{ durum}:$ $I$ sınırlı,
$2. \text{ durum}:$ $I$ üstten sınırlı alttan sınırlı değil,
$3. \text{ durum}:$ $I$ alttan sınırlı üstten sınırlı değil,
$4. \text{ durum}:$ $I$ alttan da üstten de sınırlı değil.
$1. \text{ durumun ispatı}:$
$$I \text{ sınırlı}$$
$$\overset{\scriptsize{\text{(Tamlık Aksiyomu)}}}{\Rightarrow}$$
$$ (\exists a,b\in\mathbb{R})(\inf I=a)(\sup I=b)$$$$\Rightarrow$$$$ I\subseteq [a,b]$$
Şimdi $$(a,b)\subseteq I$$ olduğunu gösterelim.
$$z\in (a,b)$$
$$\Rightarrow$$
$$(z\notin I^a)(z\notin I^ü)$$
$$\Rightarrow$$
$$ (\exists x\in I)(x<z)(\exists y\in I)(z<y)$$
$$\Rightarrow$$
$$z\in [x,y]$$
$$\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow}$$
$$z\in I$$
O halde $$(a,b)\subseteq I.$$
Sonuç olarak
$$a,b\in I\Rightarrow I=[a,b]$$
$$a,b\notin I\Rightarrow I=(a,b)$$
$$a\in I, b\notin I\Rightarrow I=[a,b)$$
$$a\notin I, b\in I\Rightarrow I=(a,b]$$
yani $I$ aralık.
Notasyon: $$I^a:=\{x|y\in I\Rightarrow x\leq y\}, \,\ I^ü:=\{x|y\in I\Rightarrow y\leq x\}$$