Question

$\displaystyle\int_e^{e^2}\left(\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{\ln^2x}\right)dx$ integralinin degerini bulunuz.

Comments

hocam $1/lnx=u$ dediniz mi? sanki burdan bişeyler gelecek ama tam oluşturamadım.

Answer 1

$\displaystyle\int_e^{e2}\dfrac{dx}{lnx}- \displaystyle\int_e^{e2}\dfrac{dx}{ln^2x}$

1. Kısma kısmi integrasyon yaparsak

$\dfrac{1}{lnx}=u$                       $dx=dv$          dersek

$\dfrac{-dx}{x.ln^2x}=du$          $x=v$ olur.

Kısmi integrasyondan,

$\dfrac{1}{lnx}.x|_e^{e^2}+\displaystyle\int_e^{e2}\dfrac{x.dx}{x.ln^2x}$   elde edilir.

2. Kısmıda eklersek,

$\dfrac{1}{lnx}.x|_e^{e^2}+\displaystyle\int_e^{e2}\dfrac{dx}{ln^2x} - \displaystyle\int_e^{e2}\dfrac{dx}{ln^2x}$

$=\dfrac{1}{lnx}.x|_e^{e^2}$ kalır.sınırları yazarsak

$=\dfrac{e^2-e}{2}$ elde edilir.