Merabalar
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\left( \sin 4x\right) ^{2}} {x^{2}.\cos 3\times } = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ \sin4x.sin 4x\ } {x .x.\cos 3\times }$
olarak ifadeyi daha açık yazalım
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ \sin4x \ } {x }=4 $ ve $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ 1 } {cos3x }=1$ olduğundan ve f ve g nin x=0 için limiti var olduğunda $ \lim _{x\rightarrow 0}\ f . \lim _{x\rightarrow 0}\ g = \lim _{x\rightarrow 0}\ (f. g) $
olduğundan
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ \sin4x \ } {x }. \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ \sin4x \ } {x }. \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ 1 } {cos3x }= \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\left( \sin 4x\right) ^{2}} {x^{2}.\cos 3\times } = 4.4.1=16$ olarak elde edilir
L'hopital ile çözememe sebebiniz muhtemelen L'Hopitalin 1 kereden daha fazla gerekmesinden olmalı. L'hopital adımından sonra tekrar limit alıp belirsizliğin kalktığını gördünüz mü? . Trigonometrik 0/0 olan $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ \sin x \ } {x } =1$ ifadesi ve genellemesi ile bazen L'hoital'e gerek duymadan (veya daha kısa mesela buradaki gibi) sonuca gidilebilir. 2. cozumdeki islemi sadece x 0 a giderken mi yapabilirim? sorusunun cevabı kısmen hayır .Mesela $ \lim _{x\rightarrow 2}\dfrac {\ \sin (x-2) \ } {x-2 } =1$ sonucu da x-2=t olsun diyerek değişken değiştirme ile ana teoreme benzetip çözebilirsiniz.
iyi çalışmalar...