fonksiyon grafiği budur, düzenli azaldıgından sürekli oldugundan ve pozitiv oldugundan integral testine tabi tutabiliriz,
$\displaystyle\int \dfrac{sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx$
$u=\dfrac{\pi}{x}$
$-dx=\dfrac{\pi}{x^2}du=\dfrac{u}{x}du$ olur yerlerine koyarsak
$-\displaystyle\int \dfrac{sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx=-\displaystyle\int \dfrac{sinu}{u}du$ olur buradan sonrası $-Si(x)$ fonksiyonunun işi,
peki,
$\boxed{\boxed{-\displaystyle\int \dfrac{sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx=-\displaystyle\int \dfrac{sinu}{u}du}}$
integrali yakınsak mıdır ıraksak mıdır? tabiki de yakınsaktır,
Çünki
$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{sinu}{u}du=\dfrac{\pi}{2}$ olduğunu biliyoruz,
Sınırları "$u$" ya göre revize edip tekrar yazalım,
$\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{\pi}{x}=u=0$ olur , dolayısıyla üst sınır $0$
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\pi}{x}=u=\infty$ dolayısıyla alt sınır $\infty$ peki sınırları değiştirirsek integral işaret değiştiriyordu o zaman ,
$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)}{x}dx=-\displaystyle\int_\infty^0 \dfrac{\sin u}{u}du=\displaystyle\int^\infty_0 \dfrac{\sin u}{u}du}}$ olur
Ve
$\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{sinu}{u}du=\dfrac{\pi}{2}$ bu referanstan dolayı , serimiz ıraksakmıştır.