limit (dikkat edin)

Question

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^{\frac{1}{x}}} = ?$

Comments

$0$ noktasında limitten bahsedebilmemiz için $0$ noktasının $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$  kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerekir. Tanım kümesi belirtilmediği zaman (burada olduğu gibi) tanım kümesi olarak fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş kümeyi alırız. Burada ise fonksiyonun tanım kümesini tespit etmek kolay gözükmüyor. Mesela fonksiyon negatif çift tamsayılar için tanımlı değil. $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesini $A=(0,\infty)$ alırsak $0\in D(A\cap (0,\infty))=[0,\infty)$ olacağından sağdan limitten bahsedebiliriz.

---

L'hospital a göre, türev alinirsa $lnx^1/x$=$lny$ olsun. Ordan da $1/x$ $ lnx$=$lny$ olur. X sifira giderken limit sonsuz olur.

Answer 1

$\varepsilon$ keyfi bir pozitif sayı olsun. Limitin tanımından, öyle $\delta > 0$ pozitif sayısı vardır ki her $|x|<\delta$ için $|x^{1/x}|<\varepsilon$ sağlanır. $\frac{1}{|x|}>\frac{1}{\delta}>\delta$'in olacağı için, yeterince küçük $x$ değerleri için $$|x^{1/x}|<|x^{1/\delta}|<\delta^{1/\delta}<\delta$$ sağlanır. Eğer $\delta=\varepsilon$ seçersek o zaman istenen elde edilmiş olur. 

Veyâ daha pratik bir yolla ("logaritmanınlimitilimitinlogaritmasıdır" yoluyla), $\lim_{x\rightarrow 0}\ln x^{1/x}$ limitini bulmamız yeter. Bu ise kolaydır: $$a=\lim_{x\rightarrow 0}\ln x^{1/x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x}\ln x=-\infty$$ O halde aranan limit: $$\lim_{a \rightarrow -\infty} e^{a}$$ ifadesine eşittir. Bu ise aşikar ki $0$'dır. 

Comments

Negatif deger icin $\ln$ alabilecegimizi sanmiyorum. Fakat limit sifira gittigi icin mutlak degerinden gosterilebilir.

---

Bilgisayar grafiğini negatif bölgede çizmiyor. $x=-2$ ise o halde, $(-2)^{-1/2}=\frac{1}{i\sqrt 2}$ kompleks sayı alınıyor. Yani reel sayılarda çalışıyorsak, $x<0$ değerleri fonksiyonun tanım bölgesinde olmuyor diyebiliriz. Böyle düşünmüştüm.

---

onemli olan var olan degerler icin sifirin yigilma noktasi olmasi.. soyle bir ornek vereyim: $\{1,1/2,1/3,\cdots,1/n,\cdots\}$ icin yigilma noktasi $0$.

Yani $f(x)=1/x$ ve $x \in \mathbb Z^*\subset \mathbb R$ alirsak $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$ olur.

---

Sağdan ve soldan limitler birbirine eşit değildir. Limti yoktur diyorum ben.

---

Onu cevap olarak ekleyebilir misin?

Simdi cozume baktim da Yasin hocam $\delta$'ya gore $\epsilon$ secilmis. Fakat gosterilmesi gereken $\epsilon$ icin $\delta$ secmek.

---

Haklısın, öyle yapmışım! Düzeltmeye çalışayım, olmadı gizlerim.

Answer 2

Tanım 1: $\emptyset \neq A \subset \mathbb{R},$ $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon, $a\in \mathbb{R}$, $a\in D(A)$ ve $L\in \mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a-\delta,a+\delta)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)$$

Tanım 2: $\emptyset \neq A \subset \mathbb{R},$ $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon, $a\in \mathbb{R}$, $a\in D(A\cap (a,\infty))$ ve $L\in \mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a,a+\delta)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)$$

Tanım 3: $\emptyset \neq A \subset \mathbb{R},$ $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon, $a\in \mathbb{R}$, $a\in D(A\cap (-\infty,a))$ ve $L\in \mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(x\in (a-\delta,a)\cap A\rightarrow \mid f(x)-L \mid <\epsilon)$$

Şimdi $$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$$ kurali ile verilen $$f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonunu ele alalım. $0\in D((0,\infty)\cap (0,\infty))=D((0,\infty))=[0,\infty)$ olduğundan $f$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki sağdan limitinden bahsedebiliriz. Her $\epsilon >0$ sayısı için öyle bir  $\delta >0$ pozitif sayısı bulmalıyız ki $$x\in (0,0+\delta)\cap  (0,\infty)\rightarrow \mid x^{\frac{1}{x}}-0 \mid <\epsilon$$ koşulu yani $$x\in (0,\delta)\rightarrow \mid x^{\frac{1}{x}} \mid <\epsilon$$ koşulu sağlansın. $x\in (0,\delta)\Rightarrow 0<x<\delta\leq 1$ kısıtını koyabiliriz. Buradan

$$0<x<\delta\leq 1\Rightarrow 1\leq \frac{1}{\delta}<\frac{1}{x}$$ olur ve yeterince küçük $x$ değerleri için $$\mid x^{\frac{1}{x}}\mid =x^{\frac{1}{x}} \leq x^{\frac{1}{\delta}}<\delta^{\frac{1}{\delta}}<\epsilon $$ elde edilir. Bunu $0<x<\delta\leq 1$ kısıtı altında bulduğumuzdan $\delta$ sayısını $$0<\delta\leq \min\{1,\alpha\} \,\ (\alpha\in \{\delta \mid \delta^{\frac{1}{\delta}}<\epsilon, \delta >0 \}) $$ seçmek yeterli olacaktır. O halde 

$$\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=0$$ olur.