Handan'ın cevabına biraz ekleme, biraz da belki düzeltme yapayım.
Evet. $m \times n$ matrisler kümesi ile $\mathbb{R}^n$'den $\mathbb{R}^m$'e giden lineer fonksiyonlar kümesi arasında birebir ve örten bir eşleme vardır. Hatta genel olarak $m \times n$ matrisler kümesi ile $n$ boyutlu herhangi bir vektöruzayından ($V$) $m$ boyutlu herhangi bir vektörüzayına ($W$) giden fonksiyonlar arasında birebir bir eşleme vardır. Ama bu eşleme biricik değildir! $V$ ve $W$ için seçtiğimiz her taban, değişik bir eşleme verir. $\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}$ ve $\beta = \{w_1, \ldots, w_m\}$ sırasıyla $V$ ve $W$ için birer taban olsunlar. Bir $f: V \to W$ lineer fonksiyonuna karşılık gelen matrisi aşağıdaki tabloya bakarak buluruz:
$$f(v_1) = a_{11}w_1 + \ldots +a_{m1}w_m\\ \vdots \quad \vdots \\ f(v_n)= a_{1n}w_1 + \ldots +a_{mn}w_m$$
$\alpha$ ve $\beta$'yı sabitlediğimizde $f$'e karşılık gelen biricik matris
$$[f]_{\alpha}^{\beta}=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix}$$
matrisidir ama eğer $\alpha$ ve $\beta$'yı değiştirirsek bu matris de değişir.
Tabanları değiştirirsek matris de değişir dedik. Peki bu matrislerin arasında bir ilişki var mıdır? Evet. Aşağıda yazacağım formüle genelde taban değiştirme formülü denir ve mantığı çok basittir. Eğer $\gamma, \delta$ gibi iki başka taban seçersek $1_V : V \to V$ ve $1_W: W \to W$ birim fonksiyonlar olmak üzere $[f]_\alpha^\beta$ ile $[f]_\gamma^\delta$ arasındaki ilişki $$[f]_\gamma^\delta = [1_W]_\beta^\delta[f]_{\alpha}^\beta [1_V]_\gamma^\alpha$$ şeklindedir.
Lineer cebirde söylediğimiz hemen hemen her söz seçtiğimiz tabandan bağımsızdır, en azından iç çarpım uzaylarına gelene kadar. Örneğin hangi tabanı seçersek seçelim, bir fonksiyona o tabanda karşılık gelen matrisin rankı aynıdır. Eğer $m=n$ ise yani seçilen tabanlardan bağımsız olarak fonksiyonumuza karşılık gelen matrisin determinantı, izi, karakteristik polinomu falan hep aynıdır.
Senin sorunun cevabına gelene kadar bu kadar yazdım ama uykum geldi. Kısaca, yaptığın şeyin tabandan bağımsız olduğunu düşünmüyorum. Genişleterek $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ yaptık dediğin yerde $\mathbb{R}^2$'yi $\mathbb{R}^4$'e ve diğer $\mathbb{R}^2$'yi $\mathbb{R}^3$'e gömüyorsun. Ama burada bir seçim var. Bu gömmeleri seçiyorsun. Eğer başka bir gömme seçersen başka bir kare matris elde edeceksin, tamam, ama bu kare matrisler arasındaki ilişki ne? Ben sıkıntının kaynağının burada olduğunu düşünüyorum.