Analitik Geometri,Çizgede verilen şekil için, $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}$ olduğunu gösterin.

Question

$ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi $G$  ve üçgen düzleminde alınan herhangi bir nokta $K$ olsun.


$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}$   olduğunu gösterin.

Answer 1

merhabalar

$\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{KC} $

$\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{KA} $

$\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{KB} $

taraf tarafa toplanırsa

$3\overrightarrow{KG}+\overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} =\overrightarrow{KA} +\overrightarrow{KB} +\overrightarrow{KC}$ 

G ağırlık merkezi ise $\overrightarrow{GA} +\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC} =0$

olduğundan  

$3\overrightarrow{KG} =\overrightarrow{KA} +\overrightarrow{KB} +\overrightarrow{KC}$  (Q.E.D :)

  

iyi çalışmalar

 

Comments

selamlar, zarif bir çözüm.

---

teşekkür ederim :)

Answer 2

$\vec{KG}+\vec{GA}=\vec{KA}$

$\vec{KG}+\vec{GB}=\vec{KB}$

$\vec{KG}+\vec{GC}=\vec{KC}$ eşitliklerini taraf tarafa toplarsak;

3$\vec{KG}+\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{KA}+\vec{KB}+\vec{KC}........................(1)$ olur.            

Öte yandan $ABC$ üçgeninde $AG$nin uzantısı $BC$' yi $D$ noktasında keserse  $$\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GD}=\vec{AG}=-\vec{GA}\Rightarrow \vec{GB}+\vec{GC}+\vec{GA}=\vec{0}..................(2)$$ olur.  $(2)$ eşitliği $(1)$ 'de kullanılırsa 

3$\vec{KG}=\vec{KA}+\vec{KB}+\vec{KC}$ olur.     Demek ki Cisim üzerideki noktalara olan uzaklıkların ortalaması cismin ağırlık merkezine olan uzaklığına eşittir. Sanıyorum düzlemde bu genellenebilir.       

Not: ben çözdüğümde gördümki soru çözülmüş. Silmeye kıyamadım. Öneminden dolayı soru iki kez çözülmüş olsun:)))

Comments

Elinize ilginize sağlık hocam.

---

Önemli değil Anılcığım. Kolay gelsin.