Reel vektör demetinin tanımıyla ilgili bir soru

Question

Reel vektör demetinin tanımı internetten bulduğum bir kaynakta şu şekilde veriliyor: 

$E$, $B$ topolojik uzay ve $p:E \rightarrow B$ dönüşümü verilsin. Aşağıdaki şartlar sağlanırsa $(E,B,p)$ ye reel vektör demeti denir:

1. $p$ sürekli ve örten
2. Her $b\in B$ için $E_b:=p^{-1}(b)$, $n$-boyutlu vektör uzayı olacak şekilde bir $n\in \mathbb{N}$ vardır.
3. Her $b\in B$ için $\pi:U\times \mathbb{R}^n \rightarrow U$, $(u,x) \mapsto u$ ile verilen ilk çarpan üzerine bir projeksiyon ver her $c \in U$ için $h:E_c \rightarrow \{c \} \times \mathbb {R}^n \cong \mathbb{R}^n$ bir vektör uzayı izomorfizmi olmak üzere $\pi\circ h=p$ olacak şekilde bir $h:p^{-1}(U) \rightarrow U \times \mathbb{R}^n$ homeomorfizmi ve $b$ nin bir $U$ açık komşuluğu vardır. 
   
Benim sormak istediğim soru; 3. şıkta verilen  $$ \{c \} \times \mathbb {R}^n \cong \mathbb{R}^n$$ izomorfizmi sadece birebir örtenlik anlamında değil mi? Çünkü $c\in B$ ve $B$ nin sadece topolojik uzay olduğu veriliyor. $B$ üzerinde başka bir şart yok.

Answer 1

Orada herhangi bir eşleme değil, $\{c\}\times\mathbb{R}^n$ ile $\mathbb{R}^n$ arasındaki doğal $(c,v)\mapsto v$ dönüşümü kastediliyor, Bunun sonucunda, $h$ nin $E_c$ ye kısıtlamasının (bu eşleme ile bileşkesinin) $E_c$ vektör uzayı ile $\mathbb{R}^n$ vektör uzayı arasında bir izomorfizma olması isteniyor.

Comments

Hocam, cevabınız için çok teşekkür ediyorum. Ben de aynı dönüşümü dikkate aldım. Ama $\{c\}\times \mathbb{R}^n$ nin $R$ üzerinde bir vektör uzayı olacak şekilde toplama ve skalerle çarpma işlemini nasıl alacağımı ilk başta düşünemedim. Bu nedenle de vektör uzaylarının bir izomorfizmi değil de sadece kümelerin bir izomorfizmi olmalı diye düşündüm. Ama 

Eğer  $\{c\}\times \mathbb{R}^n$ deki toplama işlemi 

$(c,v_1)+(c,v_2)=(c,v_1+v_2)$  $(v_1,v_2 \in \mathbb {R}^n)$

ve skalerle çarpma işlemi 

$\lambda (c,v)=(c,\lambda v)$   $(\lambda \in \mathbb {R} ,v \in \mathbb {R}^n )$

alınırsa   $\{c\}\times \mathbb{R}^n$, $\mathbb {R}$ üzerinde bir vektör uzayı oluyor. 

Yani bu izomorfizm vektör uzaylarının bir izomorfizmi (benim için en önemli kısım bunu görmekti hocam) Cevap yazarak bu konuda biraz daha düşünmemi sağladınız tekrar teşekkür ediyorum hocam.

---

Bu yerel olarak bariz olma ozelligi degil mi?

---

Demetin grubunun $GL_n(\mathbb{R})$ olması demek. Demetin, basit (okuyucunun ilk kez karşılaştığında, ürkütmemek için!) tanımlarında bu grup gözardı edilir (lifin tüm homeomorfizmalarının grubu varsayılır) ama daha detaylı bir tanımda (ve bazı işlemlerde, örneğin evrensel demet vs.) bu grubun belirtilmesi gerekir. Milnor un "microbundle" ı var (daha sonra gösterilen "microbundles are fiber bundles" makalesi) bunlar da (bazı koşullarda) demet ama grubu $GL_n(\mathbb{R})$  değil $\mathbb{R}^n$ in 0 ı sabit bırakan homeomorfizmaları.