Bu sonlu/sonsuz kümelerle ilgili ifadelerin hangisi yanliştir?

Question

Bu bir test sorusuydu. E kesin dogru gibi . iki küme eş güçlü oluyor. 

C de doğru çünkü zaten bu sonsuz kümenin tanımı. Diğerleri hakkında ne söyleyebiliriz?

A) Sonsuz kümeden boş olmayan sonlu kümeye birebir fonksiyon yoktur. 

B) Sonsuz küme ile sonlu küme arasında birebir ve örten fonksiyon yoktur. 

C) Sonsuz kümeden boş olmayan özalt kümesine birebir ve örten fonksiyon vardir.

D) Boş olmayan sonlu kümeden sonsuz kümeye örten fonksiyon vardir.

E) Sonlu iki küme arasinda 1-1 ve orten fonksiyon varsa eleman sayılari eşittir. 

Comments

$D$ şıkkındaki bilgi yanlış. 

İpucu: Boş olmayan sonlu bir küme $A=\{0\}$ ve sonsuz küme de $B=\mathbb{N}$ olsun. Bu durumda $\ldots$

Answer 1

A) Sonsuz kümeden ,sonlu kümeye eşleştirme yapıldığında tanım kümesinde açıkta eleman kalacağından bu bir fonksiyon olamaz.

Bu bir fonksiyon olmadıgından, birebirliğinin mevzu bahsi olabileceginden emin değilim.

Fonksiyon tanım'ı:

$A$'dan $B$'ye tanımlı bir fonksiyon, aşşağıdaki özelliklere sahip bir sıralı ikili kümesidir.

$F\subseteq A\times B \quad \forall a,b,c ((a,b)\in\; F\wedge (a,c)\in\;F)\Longrightarrow (b=c)$

veya

$f:A\rightarrow B$  fonksiyonu için ,$f=\{(x,y)\in A\wedge \exists!y\in B\}$

Alttaki tanım daha kolay, çünki $(x,y)$  ikilisi eğer bir fonksiyon/gönderme ise, Her $x\in A$ için yani A kümesindeki tüm $x$ ler için bir tane ve "tek" bir $y$ olduğunu söylüyor,buradan anlaşılıyor ki, A yani tanım kümesinde eşleşmemiş eleman olamaz ve eşleşirken mutlaka değer kümesindeki tek bir elemanla eşleşebilir, daha fazlasıyla değil, ancak değer kümesindeki $y$ elemanına bir çok $x$ elemanının eşleşmesine engel teşkil etmez.

B) Sonsuz küme ve sonlu kümeler için , tanım kümesi sonsuz olamayacağından(üstteki sebeplerden)
Tanım kümesi $A$ ve bu $A$ kümesi sonlu olsun, değer kümemiz sonsuz küme olan (sayılabilir varsayalım ki) $B$ olsun,

$f:A\rightarrow B$  fonksiyonu için ,$f=\{(x,y)\in A\wedge \exists!y\in B\}$  durumu sağlanır bu bir fonksiyondur ancak, sonlu tanım küme elemanları tüm değer küme elemanlarıyla eşleşemez dolayısıyla birebir olabilir ama örten olamaz.

C)Sezgisel Kumeler Kuramı (Ali Nesin) kitabında sonuç 13.4 teoremi şudur,"Saylabilir sonsuzlukta bir kumenin sonsuz bir altkumesi de sayılabilir sonsuzluktadır. Dolayısıyla sayılamaz sonsuzlukta altkümesi olan bir kume sayılamaz sonsuzluktadır."

Kanıt:

$A$ sayılabilir sonsuzlukta bir küme olsun. $B$ ,$A$' nın sonsuz bir altkümesi olsun. $A$ 'nın elemanlarını doğal sayılarla numaralandıralım.$B$'nin elemanlarının numaraları $\mathbb N$'nin sonsuz bir $M$ altkümesini oluşturur.Demekki $M$ ,$B$'nin elemanlarını numaralandıran sonsuz bir doğal sayı kümesidir.

Kanıt ,doğrudan C şıkkını ispatlar niteliktedir.

D), B) şıkkında gösterdiğimiz gibi fonksiyon olabilmesi için D) şıkkının tam tersi olmalıdır, ve soruda tek bir yanlış olduğundan ya B şıkkı ya da D şıkkı hatalıdır, B şıkkının doğru olduğunu gösterdiğimizden cevap D dir.(D yi ayrıca açıklamıyorum B de gerekli açıklama yapıldı.)

E) Zaten iki küme arasında fonksiyonel bir eşleşme yapabiliyorsak bu kümeleri bir anlamda eşlemişiz demektir.