Üstçokkatlılar kuramına giriş konusuna kaldığımız yerden devam edelim.
Tanım((üst)matris yapısı): Dikdörtgen şeklindeki hücreleri satır ve sütun numarası damga çiftiyle gösterilen dizilere matris yapısı denir. Üstmatris yapısı ise her satır ve sütunu bir eşlikle ilişkilendirilmiş olan matris yapısıdır. Genelllik üstmatris yapıları çift satır ve sütunlar ilk, tek satır ve sütunlar sonra gelecek şekilde düzenlenir: $R,S,T,U$ çift ve tek satır ve sütunların ayrışımları olmak üzere $X=\begin{pmatrix}R& S \\ T& U\end{pmatrix}$.
Bir üstmatris yapısının $p$ çift, $q$ tek satırı ve $r$ tek ve $s$ çift sütunu var ise, onun $(p,q)\times (r,s)$ boyutunda bir matris yapısı olduğu söylenir.
$X$ bir üstmatris yapısı olsun. O zaman, $X$'in hücrelerinden oluşan $\{X_{ij}\vert X_{ij}\in A\}$ kümesine bir $A$ üzerinde matris denir. $A$ üzerindeki matris uzayının eşliği şöyle tanımlanır:
Eğer $e(X_{ij})+e_{satır}(i)+e_{sütun}(j)=\bar{0}$ ise $e(X)=\bar{0}$,
$e(X_{ij})+e_{satır}(i)+e_{sütun}(j)=\bar{1}$ ise $e(X)=\bar{1}$
ya da blok matris yazımı için: $e(R_{ij})=e(U_{ij})=\bar{0},e(S_{ij})=e(T_{ij})=\bar{1}$ ise $e(X)=\bar{0}$, $e(R_{ij})=e(U_{ij})=\bar{1},e(S_{ij})=e(T_{ij})=\bar{0}$ ise $e(X)=\bar{1}$ olarak tanımlanır.
Tanım(matris çarpımı): $X$'in satırları $Y$'nin sütunlarıyla aynı eşliğe sahip olduğu takdirde çarpımları şöyle tanımlanır: $(XY)_{ij}=\displaystyle\sum_{k}X_{ik}Y_{kj}.$
Soru 1: $Mat_{p,q}$ ile $(p,q)\times(p,q)$ boyutundaki $A$ üstcebiri üzerindeki matris uzaylarını ifade edersek, $Mat_{p,q}$'nin tanımlanan çarpım ve eşliğe göre bir birleşmeli bir üstcebir tanımladığını gösterebilirmisiniz?
Soru 2: Bir birleşmeli üstcebir $A$ için $Z(A)=\{z\in A\vert az-(-1)^{e(a)e(z)}za=0 \ \ \forall a\in A\}$
kümesine $A$'nın merkezi denir.$Mat_{p,q}$'nin merkezini bulabilirmisiniz?
Tanım(üstiz): Bir değişmeli $A$ üstcebiri için $Mat_{p,q}(A)$ üzerinde üstiz $\text{üiz}(X)=\sum(-1)^{(e(X)+1)e_{satır}(i)}X_{ii}=\sum(-1)^{(e(X_{ii})+1)e_{satır}(i)}X_{ii}$ olarak tanımlanır.
Soru 3: $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ bir çift matris ise $\text{üiz}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=izA-izD$, bir tek matris ise de
$\text{üiz}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=izA+izD$ eşitliğini gösterebilirmisiniz?
Soru 4/Tanım(Berezin göndermesi): $A$ değişmeli bir üstcebir, $GL_{p,q}(A)$ ise $Mat_{p,q}(A)$'nın çift tersinir elemanlarının çarpımsal grubu olsun(genel doğrusal grubun üstcebirsel çeşidi). Bir $X=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in GL_{p,q}(A)$ için bir $GL_{p,q}(A)\rightarrow GL_{1,0}(A)=A_{\bar{0}}^*$ (:= $A_\bar{0}$'nın tersinir elemanlarının grubu) homomorfizması yazabilirmisiniz? Bulması ne kadar zor olur bilmiyorum ama bundaki amacımız normal determinantın işlevini görecek bir gönderme bulabilmek.