Üçgenle ilgili güzel bir limit sorusu.

Question

Bir dik üçgenin bir dik kenarının uzunluğu $1$, diğerinin uzunluğu $y$ ve hipotenüsü $r$ dir.$y$'nin karşısındaki açının radyan ölçüsü $\theta$  dır.$\theta\to\pi/2$ iken aşşağıdaki limitleri bulunuz.
  

S.1)  $\lim\limits_{\theta\to(\frac{\pi}{2})^-}r-y=?$

S.2)  $\lim\limits_{\theta\to(\frac{\pi}{2})^-}r^2-y^2=?$

S.3)  $\lim\limits_{\theta\to(\frac{\pi}{2})^-}r^3-y^3=?$

Comments

İlk hali ile soru yoktu, kusura bakmayın.

---

$\pi/2^-$ mi, yoksa direkt $\pi/2$ mi?

---

direkt pi/2 hocam 

---

sagdan nasil yaklasiyoruz peki?

---

sagdan nasil yanasabiliriz?

---

dün bunu ben de düşündüm ama anlaşılan şey bariz olduğundan detaylandırmayı önemsememiştim, sabah bunu sordugunuzda benim düşündüğüm şeyi kastettıgınızı anlamamıştım.Haklısınız dikkat etmek gerek.Sağdan yanaşamayız , üçgen tanımına aykırı olur, dik kenar oldugundan $\theta=90+\epsilon\quad\Longrightarrow\quad 90+\epsilon+90+3.açı$ mümkün değildir ,bir üçgen belirtmez. soldan diye eklemeliyim

Answer 1

Merhabalar

Cos $\theta$=1/r  

Tan $\theta$=y/1

$\frac{1}{cos\theta  }$ -Tan $\theta$

 $\frac{1-sin \theta}{cos\theta  }$

=$\frac{0}{0}$ belirsizligi (verilen limit degeri yerine yazılirsa)

L'hopital ile $\frac{-cos\theta}{-sin\theta  }$=0 (verilen limit degeri yerine yazılirsa).

Ilki benden olsun (:

Kolay gelsin.

Comments

2.yi de ben yapayım, umarım 3. yü de hedeflediğim gibi ögrenciler yapar :D

---

Bi sorunun cevabini uce bolmemek lazim. Uce bolunecekse tek tek sormak lazim. 8000 karaktere kadar tabi :)

Answer 2

$r=sec\theta$    ve    $y=tan\theta$
  
olduğundan, $r^2-y^2=\dfrac{1-sin^2\theta}{cos^2\theta}$   olur ve,

$\lim\limits_{\theta \to (\pi/2)^-}\dfrac{1-sin^2\theta}{cos^2\theta}=0/0$      ,   $cos^2\theta=1-sin^2\theta$ olduğundan limit $1$ dir ve kesin olsun diye l'hôpital alalım,

$\lim\limits_{\theta \to (\pi/2)^-}\dfrac{1-sin^2\theta}{cos^2\theta}=0/0\quad\quad \quad \underbrace{\Longrightarrow}_{l'hôpital uygularız}\quad\quad \quad\lim\limits_{\theta \to (\pi/2)^-}\dfrac{-2sin\theta.cos\theta}{-2cos\theta.sin\theta}=1$ 

Answer 3

2. soru için, $\theta \to 90^o$ olduğundan, yani hiçbir zaman $90^o$ olmayacağından, $r^2-y^2=1$ olmalıdır. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım, $\displaystyle \lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}r^2-y^2=\lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}(r-y)(r+y)=1$ ve $\displaystyle\lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}r+y$ ifadesi sonsuza ıraksadığından $\displaystyle\lim _{ \theta \to \frac{\pi}{2}}r-y=0$ olmalıdır. ($0.\infty$ belirsizliğinden dolayı)

3. soru için biraz daha işleme ihtiyacımız var. $r=\frac{1}{cos\theta}$ ve $y=tan\theta$ olduğundan $r^3-y^3=\frac{1}{cos^3\theta}-\frac{sin^3\theta}{cos^3\theta}=\frac{1-sin^3\theta}{cos^3\theta}$ olmalıdır. Limit işlemimizi yaparsak $\displaystyle \lim _{\theta \to \frac\pi 2}\frac{1-sin^3\theta}{cos^3\theta}=\frac 00$ belirsizliğini elde ederiz. L'hopital yaparsak $\frac{-3.cos\theta.sin^2\theta}{-3.sin\theta.cos^2\theta}=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\infty$ buluruz.

Comments

Foton bu yorumu da gorur. Simdi $r^2-y^2=1$ degil mi her zaman? Cok ugrasmaya gerek yok.

---

$\theta<\frac\pi2$ için öyle, biz de bu şartı aşmadık diye düşünüyorum :)

---

En ust yorunda da sagdan yaklasmayi sordum, soru altinda, ona da cevap bekliyorum :)

---

Evet orada bir hata var gibi :)

---

ya benımkı gıbı karızma notasyonlu cevaplar hıç yok:S:S

---

Sekil vs guzel de...

---

edited.