Ne zamandır bu soruya cevap vermek istiyordum, vaktim anca olabildi. Yakın zaman önce çalıştığım bir konuda bu teorem kullanılıyor. Ben bildiğim kadarıyla anlatmaya çalışacağım ama gördüğüm kadarıyla farklı kitaplarda farklı ifade ediliş şekilleri ve versiyonları mevcut. Ben Cox'un Primes of the forms $x^2+ny^2$ isimli kitabını takip edeceğim. Aşağıda yazdığım, 'kolay ki, açık ki, gösterilebilir ki' dediğim her şey kitapta mevcut. Teoremin ne dediğini anlayabilmek için birçok şey anlatmak gerekiyor, o yüzden biraz uzun bir yazı olacak. Belki bir ara uygulamalarından da bahsedebilirim.
Not: Kitaptaki bilgilerin (ve benim kullandığım) bilgilerin bir kısmı her sayılar kuramı kitabıyla aynı deği ama anladığım kadarıyla bu teorem için fark etmiyor.
---
$\mathbb{Q}$ cisminin sonlu genişlemeleri 'sayı cismi' (number field) diyoruz. Bundan böyle $\mathbb{K}$ bir sayı cismi olsun. $\mathbb{A}$ sembolü ile de tüm cebirsel tamsayıları (algebraic integer) yani katsayıları $\mathbb{Z}$'den olan ve başkatsayısı $1$ olan polinomların köklerini gösterelim. Eğer $\mathbb{A}$ ile $\mathbb{K}$ kümelerini kesiştirirsek, $\mathbb{K}$'nın içindeki cebirsel tamsayıları buluruz ki buna da 'sayı halkası' (ring of integers) diyoruz ve bu kümeyi $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ ile gösteriyoruz. Adından da tahmin edebileceği üzere $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ sayı halkası gerçekten bir halka ve bu tip halkalarda asal idealler çok önemli.
Diyelim ki $\mathbb{L}$, sayı cismimiz olan $\mathbb{K}$'nın sonlu bir genişlemesi, diğer bir deyişle $\mathbb{K}$'yı içeren bir sayı cismi olsun. $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ halkasındaki bir $\mathfrak{p}$ asal idealini yukarı taşıdığımızda elde ettiğimiz $\mathfrak{p}\mathcal{O}_{\mathbb{L}}$ tabii ki $\mathcal{O}_{\mathbb{L}}$ içinde bir ideal ama asal olmak zorunda değil. Diğer yandan $$\mathfrak{p}\mathcal{O}_{\mathbb{L}}=\mathfrak{B_1}^{e_1}\dots\mathfrak{B_g}^{e_g}$$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılabilir. Buradaki $e_i$ sayısına '$\mathfrak{p}$'nin $\mathfrak{B_i}$ içindeki 'dallanma indisi' (ramification index) adını veriyoruz. Dahası her $\mathfrak{B_i}$ için $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}/\mathfrak{p}\subset \mathcal{O}_{\mathbb{L}}/\mathfrak{B_i}$ şeklinde sonlu bir cisim genişlemesi elde ediyoruz ve bu genişlemenin derecesini $f_i$ ile gösterip $\mathfrak{p}$'nin $\mathfrak{B_i}$ içindeki 'atalet derecesi' (inertial degree) olarak isimlendiriyoruz.
Eğer $\mathbb{L}$ genişlememiz Galois ise işler gayet güzel. Bu durumda $e_1=\dots=e_g$ ve $f_1=\dots=f_g$ sonucuyla karşılaşıyoruz. Basitleştirmek adına elimizde $e$ ve $f$ olsun. $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ halkasındaki bir $\mathfrak{p}$ asalı için, $e>1$ ise 'dallanır' (ramify), $e=1$ ise 'dallanmaz' (unramified) diyoruz. Eğer $e=f=1$ gibi daha güçlü bir durum varsa elimizde, o zaman için $\mathfrak{p}$ asal ideali $\mathbb{L}$ içinde 'tamamen parçalanır' (splits completely) diyoruz.
Asal idealler üzerinde tanımlanan dallanma ve parçalanma tanımlarını cisim genişlemeleri için düşünmek de mümkün. Karışıklığı engellemek adına bundan böyle $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ sayı halkasının asal ideallerine 'sonlu asallar' (finite primes) adını verelim. Bir de bunlar dışında 'sonsuz asallar' (infinite primes) denen objelerimiz var ki onlar da $\mathbb{K}$'nın $\mathbb{C}$ içine gömmeleriyle (embedding) belirleniyor. Daha özel olarak $\sigma :\mathbb{K}\to \mathbb{R}$ gömmesine 'gerçel sonsuz asal' (real infinite prime), $\sigma, \bar{\sigma}:\mathbb{K}\to \mathbb{C}$, $\sigma\neq\bar{\sigma}$ sanal eşlenik gömme çiftine 'sanal sonsuz asal' (imaginary infinite prime) adını veriyoruz.
$\mathbb{K}$'nın bir $\mathbb{L}$ genişlemesi için, $\mathbb{K}$'nın bir $\sigma$ sonsuz asalı gerçelse ve $\mathbb{L}$'ye sanal bir genişlemesi varsa bu durumda $\sigma$ için $\mathbb{L}$ içinde 'dallanır' (ramifiy) deriz. Bir $\mathbb{K}\subset \mathbb{L}$ genişlemesinin 'dallanmaz' (unramified) olması demekse, sonlu ve sonsuz tüm asallarda dallanmazdır demektir.
$\mathbb{K}\subset \mathbb{L}$ genişlemesi Galois olmak üzere, $\mathbb{L}$ içinde dallanmaz olan bir $\mathfrak{p}$ asal ideali alalım.$\mathfrak{B}$ de, $\mathcal{O}_{\mathbb{L}}$ içinde $\mathfrak{p}$'yi içeren bir asal ideal olsun. Bu durumda her $\alpha\in \mathcal{O}_{\mathbb{L}}$ için, $$\sigma(\alpha)\equiv \alpha^{N(\mathfrak{p})}\text{mod}\mathfrak{B}$$ olacak şekilde tek bir $\sigma\in\text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$ vardır. Burada $N(\mathfrak{p})$ ile kastettiğim $\mathfrak{p}$'nin normu, yani $|\mathcal{O}_{\mathbb{K}}/\mathfrak{p}|$. Bu tek elemana 'Artin sembolü' (Artin symbol) adını veriyoruz ve bu elemanı $((\mathbb{L}/\mathbb{K})/\mathfrak{B})$ ile gösteriyoruz. Şunu da belirtmekte fayda var ki bu sembol Legendre sembolünün genelleştirilmiş hali.
$\mathcal{P}_{\mathbb{K}}$ ile sonlu asalları gösterelim ve bir $\mathcal{S}\subset \mathcal{P}_{\mathbb{K}}$ alt kümesini düşünelim. $\mathcal{S}$ kümesinin 'Dirichlet yoğunluğu' (Dirichlet density) $$\delta(\mathcal{S})=\frac{\sum_{\mathfrak{p}\in \mathcal{S}} N(\mathfrak{p})^{-s}}{-\text{log}(s-1)}$$ olarak tanımlanır, tabii bu limitin var olması durumunda. Dirichlet yoğunluğunun birkaç temel özelliği şunlar:
1- $\delta(\mathcal{O}_{\mathbb{K}})=1$.
2- $0\leq\delta(\mathcal{S})\leq1$
3- Eğer $\mathcal{S}\subset \mathcal{T}$ ise $\delta(\mathcal{S})\leq \delta(\mathcal{T})$.
4- Eğer $\mathcal{S}$ sonlu ise, $\delta(\mathcal{S})=0$.
Son olarak $\mathbb{K}\subset \mathbb{L}$ genişlemesi Galois olsun, Abelyenlik önemli değil. Dikkat edilirse baştan sabitlenen bir $\mathfrak{p}$ asalını içeren $\mathcal{O}_{\mathbb{L}}$'deki her $\mathfrak{B}$ asalı için farklı bir Artin sembolü mevcut. Ama bu Artin sembolleri çok da alakasız değiller. Kolayca gösterilebilir ki tüm $((\mathbb{L}/\mathbb{K})/\mathfrak{B})$ Artin sembolleri eşlenik, hatta bunlar $\text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$ grubu içinde tam olarak tüm denklik sınıflarını oluşturuyor. Bu durumda $\mathfrak{p}$'nin $((\mathbb{L}/\mathbb{K})/\mathfrak{p})$ Artin sembolünü bu denklik sınıfı olarak tanımlamak mümkün. Artık asıl teoremi sunmaya hazırız:
Chebotarev Yoğunluk Teoremi: $\mathbb{K}$ bir sayı cismi ve $\mathbb{L}$, $\mathbb{K}$'nın bir Galois genişlemesi olsun. Bir $\sigma\in \text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$ için, $\langle\sigma\rangle$ ile $\sigma$'nın denklik sınıfı gösterelim. Bu durumda $$\mathcal{S}=\{\mathfrak{p}\in \mathcal{P}_{\mathbb{K}}: \mathfrak{p},\ \mathbb{L}\ \text{içinde dallanmaz}\ \text{ve}\ ((\mathbb{L}/\mathbb{K})/\mathfrak{p})=\langle\sigma\rangle\}$$ kümesinin Dirichlet yoğunluğu $$\delta(\mathcal{S})=\frac{|\langle\sigma\rangle|}{|\text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})|}=\frac{\langle\sigma\rangle}{[\mathbb{L}:\mathbb{K}]}$$ olur.