Question

$n>1$ tamsayısı için $n$ sayısının neden en az bir asal böleni olmalı?

Comments

$n>1$ olan $n$ sayısı asal ise teorem doğrudur. Çünkü sıfırdan farklı her sayı kendisini tam böler.

Eğer $n$ asal değilse,$n>2,n>3$ olmak zorundadır. Çift ise $2$ ile bölünür. Asal olmayan tek sayı ise;aritmetiğin temel teoremi gereği en az bir çarpanı asaldır.

---

aynen hocam, bır de tumevarımla bır cozumu var onu da yazarlar umarım, veya ben yazacagım :)

---

@Mehmet Toktaş sanki biraz hile var gibi bu çözümde :) aritmetiğin temel teoremini biliyorsak zaten bütün soruyu sadece "aritmetiğin temel teoremi gereği" diyerek çözebiliriz. Aritmetiğin temel teoremini kanıtlarken bu sorulan soruyu kullanıyoruz zaten. Bunu geçip başka türlü kanıtlayabilsek bile yine de o arada buna benzer bir şey kanıtlamamız gerekir.

---

Hile var ne demek?  Hileli bir çözümü ilk kez duyuyorum. Çözüm ya yanlıştır ya eksik ya da doğru. Bu yaşıma geldim ilk kez hileli bir çözümü, niyeti ve amacı hiçte hile yapmak olmayan birisi olarak yapmışım. Ben neymişim meğer. Doğrusu bir ispatta hile nasıl yapılır ve  bunun neresinde hile var ve bu hile ne? anlayamadım.

Sayın @Ozgur ,sizden hilesiz ve herhangi bir teoremden yararlanmadan ter temiz bir ispat bekliyoruz artık.

---

Hileli ispat genelde daha ust bir bilgi kullanmak demek olmali, degisiyor. Bir deyim bence matematikte. Ben de Ozgur'un dedigini diyecektim "aritmetiğin temel teoremini biliyorsak zaten bütün soruyu sadece "aritmetiğin temel teoremi gereği" diyerek çözebiliriz." Aslinda bu o teoremi ispatlama yonunde bir adim. Yani onun ispatini kullanmamiz uygun dusmez. Bu tarz ispatlara hileli deniyor. 

---

Kötü bir şey söylemek, üzmek, dalga geçmek, kırmak, saldırmak gibi bir niyetim yoktu. Kötü bir niyet olduğunu da ima etmemiştim. Zaten haddime de değil. Özür diliyorum, istemeden kırdım, affola. 

Vermek istediğim mesaj, ikinci cümledeydi. Sercan biraz daha açmış.

---

Ben de aynısını diyeyim de etkisi artsın. Mehmet hocam, hileli ispattan anladığımız insanları kandırmak için yapılan ispat demek değil, genelde A teoreminin genelleştirmesi olan B teoremini kullanarak A teoremini ispatlamak demek. 

Dert etmeyin hocam, özgür daha genç ne dediğini bilmiyor :)

---

Şafak haklı. Tekrar af diliyorum.

---

Doğrusu bende sayın Ozgur'den böyle bir ifade duymayı beklemediğim için üzüldüm ve kırıldım. Ama sanıyorum asıl sorun, sayın Safak Ozden'in açıkladığı ispatlama biçimine "hileli" ispat denilmesi. Bu niteleme beni gerçekten çok üzmüştü. Benim gibi ilk kez duyanları da mutlaka üzecektir.  Bu biçimdeki ispatlara matematiğin asaletine yakışır daha uygun bir isim bulunabilir. Mesela "alt ispat,ön ispat, ilkel ispat, öncül ispat, dar ispat vs. 

Eğer bu tarz ispatlara yaygın kanı olarak(hoş olmasa da) "hileli" ispat deniyorsa,sayın Ozgur'un niyetinin aslında beni kırmak olmadığını şimdi daha iyi anlıyorum. Bu sebeple özürünü kabul ediyorum ve gözlerinden öpüyorum. 

Bu yanlış anlaşılmanın açıklanmasında çaba gösteren, Sayın Sercan ve sayın Safak Ozden hocalarıma da çok teşekkür ediyorum. Mesele benim açımdan kapanmıştır.

Answer 1

Tümevarım ile çözüm:

(Başlangıç adımı) $n=2$ için $n$ yi bölen bir asal sayı var ($p=2$)

(Tümevarım adımı) Bir $n>1$ için, her $1< k\leq n$ sayısını bölen en az bir asal sayı var olsun.

$n+1$ asal ise: $p=n+1$, $n+1$ i bölen bir asal sayıdır. (daha küçük olanları bölen asal sayı zaten var)

$n+1$ asal değil ise: $n+1=m\cdot k$ ve $m>1,\ k>1$ olacak şekilde $m,k$ doğal sayıları vardır.

$m>1$ oluşundan $k<n+1$ ve olur. Burada da $1<k \leq n$ elde ederiz.

Tümevarım hipotezinden, $k$ yı bölen en az bir asal sayı vardır. Bu asal sayının $n+1$ i de böleceği aşikardır.

Tümevarım ilkesinden, iddia ispatlanmıştır.

Answer 2

$n>1$ tamsayısının bütün pozitif bölenlerini bir $S$ kümesinde toplayalım. $S$ kümesi iyi sıralı bir küme olduğundan en küçük elemanı vardır. Bu en küçük eleman asal olmalıdır. Aksi taktirde $d=rs$ olursa $1<r<d$ olacağından $d$ nin en küçük eleman olması ile çelişir.

Comments

$S$ kümesi neden iyi sıralı? Iyi sıralı ne demek?

---

$S$ ye 1 hariç pozitif bölenleri almalıyız.