Lif Çarpımını nasıl anlamalıyız/hissetmeliyiz?

Question

Fibre/Fiber (lif) carpimini nasil anlamaliyiz? Genel manada yapilan nedir? 

Genel anlamindan sonra: 
Ornegin, $\mathbb F_7$ uzerinde  $C_1: y^2=x^3+1$ ve $C_2: y^2=x^3+x$ egrilerini nasil carpariz?

Comments

belirttiğiniz şeyleri açıklayabilirmisiniz.belki bişeyler öğrenirim

---

$\mathbb F_1$  cisiminde tek eleman vardı, bu Flerin sağ altındaki numaralar cisimde kaç eleman oldugunu nıtelıyor sanırım.Reel sayılar aksıyomlarının 9'unu saglayan kumeler cısımdır bu arada.

---

$\mathbb F_1$ diye cisim yok, cisimlerin eleman sayisi asal kuvveti olmali. Ha bazilari bazi ozel durumda boyle bir cisimi tanimlayabilirler ama genel cisimler teorisi icinde bir cisimde en az iki eleman vardir, $0 \ne 1$.

---

@fotonyiyenadam: bu tek elemanlı cisim cebirsel gruplar çalışanların olsa nasıl olurdu diye tanımlamaya çalıştıkları bir kavram. cisim tanımı gereği tek elemanlı cisim olamayacağını biliyoruz, tek elemanlı cisim denince akla gelen şey bizim reel sayı aksiyomlarıyla anladığımız anlamda bir cisim değil yani. nasıl tanımlamak gerek sorusuna da tek bir yanıt yok, örneğin anton deitmar baya yazmış bu konuda ama onun yaklaşımı benim bildiğim kadarıyla pek itibar görmüyor. neyse, bilmediğim konuda çok ahkam kesmeyeyim, bilerek konuşmak daha iyi.

@sercan: bildiğim kadarıyla lif çarpımı tek başına objelerle ilgili değil, objeler ve objelerden ortan başka bir nesneye olan morfizmalarla anlamlı bir inşa. ortada morfizma yoksa benim aklıma gelen morfizmanın trivial olacağı, o durumda da fiber çarpımın bildiğin kartezyen çarpım olacak.

@safak: https://www.youtube.com/watch?v=OXIBJQhGytQ

---

Soyle diyem, bu iki egriyi bir fonksiyon cismi olarak yazalim. $\mathbb F_7[y_1,x]$ ve $\mathbb F_7[y_2,x]$ olarak, $y_1^2=x^3+1$ ve $y_2^2=x^3+x$. Bu ikisini iceren en kucuk fonksiyon cismi bunun lif carpimi olur.

Simdi tanimi boyle bilince benim acimdan, anlama bakimindan, kolay oluyor. Bu projektif uzay uzerinde carpma oluyor galiba, $C_1 \times_{\mathbb P_7} C_2$. Bende buraya (wiki) bakinca kartezyen vs gordum. Fakat daha genel manada ogreneyim diyorum. 

---

Bu iki egriyi bir fonksiyon cismi olarak yazarken neden $\mathbb F_7[y_1,x_1]$ ve $\mathbb F_7[y_2,x_2]$ olarak yazmıyoruz. Bu durumda farklı sonuç elde ederiz farkındaysan. Yani aslında senin yazımın (benzer biçimde benim yazımım) örtük biçimde ortak bir yere morfizma içeriyor.

---

Evet, tam olarak bu tarz ogrenmek istiyorum. Eger $x_1,x_2$ diye ayirirsak kartezyen carpim olur. Fakat $y_1,y_2,x$ diye alirsak Dedigim sekilde $\mathbb F_7[x]$ uzerinde $y^2-(x^3+1)$ ve $y^2-(x^3+x)$ polinomlarinin ayristirma cismini elde etmis oluruz.

Answer 1

Öncelikle, az önce benim tarif ettiğim durumda da kartezyen çarpma olmuyor, zira taban cismi aynı kabul ediyoruz, farklı değil. O yüzden elde edilen şey $\mathbb{F}[x_1,y_1,x_2,y_2]$ oluyor, yeni $\mathbb[F]_7$ üzerinden tensör çarpımları.

Ana konuya dönecek olursak. Kabaca şunları dersem hiçbir geometrici beni pataklamaz diye umuyorum zira formal bir şey yazmayacağım için her şeyi inkar edebilirim. Bu arada lif çarpımı yalnızca geometride yok, kategori teoritik anlamı olan genel bir inşa, ama galiba en anlamlı gözüktüğü yer geometri.

Bu işlem anlaşılacağı üzere yamama yoluyla elde edilen geometrik nesneleri tarif eden cebirsel objeleri bulmaya yarıyor. Büyük bir geometrik nesnenin içinde iki tane geometrik obje var, ve bunlar kesişiyorlar. Tabii bu objeleri, büyük objeden bağımsız biçimde, farklı yerlerde kesişmeyen objeler olarak da görebilirsin. Ama biz büyük objenin içinde görüyoruz ve haliyle kesişiyorlar. Bir yandan da bu iki objeyi izole olarak tarif eden cebirsel nesnelerin var. Ve bir üçüncü geometrik objen var, bu ikisinin kesişiminden elde edilen.

$X_1,X_2,X_3=X_1\cap X_2$ olsun bu objelerin. Bunları tarif eden cebirsel objeler de sırasıyla $R_1,R_2$ ve $R_3$ olsun. $X_3$ altküme olduğu için $j=1,2$ için $e_j:X_3\hookrightarrow X_j$ gömmeleri vardır. Bu gömmelerin ters yönlerinde de doğal olarak $f_j:R_j\longrightarrow R_3$ vardır. Hah, işte şimdi $R_1$ ve $R_2$ halkalarının $R_3$ halkası üzerinden lif çarpımını yapabilirsin. Bulduğun halka, $X_1\cup X_2$ geometrik objesini tarif eden cebirsel nesneyi verecek. Ya da, $X_1$ ve $X_2$'yi ikisinin içinde de görebildiğin $X_3$ üzerinden yapıştırdığında elde ettiğin geometrik objeyi tarif eden cebirsel objeyi verecek.