$a,b\in\mathbb{R}$ ve $a<b$ olmak üzere $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ sürekli ise $f$ fonksiyonunun sınırlı olduğunu gösteriniz.

Question

Heine-Borel teoremini kullanmadan ispatlayınız.

Comments

kapalı aralıkta sureklı fonksıyonların ,mutlak mın ve mutlak maksları vardır, dolayısıyla sureklı fonksıyon tanım aralıgında bu mutlak maks ve mın degerini alır, Mutlak maks :$f(x_j)$   ve mutlak min :$f(x_i)$  olsun.


$\forall x \quad a\le x \le b\quad ve \quad f(x_i)\le f(x)\le f(x_j)$   olur , bu da bu fonksiyonun sınırlı olmasını ispatlar.

Ek:

Tanım(extrem değer teoremi):

$f$, kapalı bir $[a,b]$ aralığının her noktasında sürekli ise, bir mutlak maximum değer $M$'ye ve 

bir minimum değeri $m$'ye $[a,b]$ içinde erişir. Yani,$[a,b]$'da  ,$f(x_1)=m$   ve   $f(x_2)=M$  olacak şekilde,

$x_1,x_2$  sayıları vardır ve  $[a,b]$'daki diğer her bir $x$ için $m\le f(x)\le M$

---

Bu özelliği de bilmediğimizi varsayalım. Süreklilik tanımını kullanarak ispatlamaya çalışalım.

Answer 1

Kanıt: a ≥ b ise kanıtlayacak bir şey yok. Bundan böyle a < b varsayımını

yapalım.

S = {c ∈ [a, b] : f fonksiyonu [a, c] üzerine sınırlı}

tanımını yapalım. a ∈ S olduğundan S ̸= ∅. Demek ki c = sup S var. Şimdi

amacımız c’nin b’ye eşit olduğunu kanıtlamak. Diyelim c < b. Fonksiyon c’de

sürekli olduğundan, öyle bir 0 < δ vardır ki, her x ∈ (c − δ, c + δ) ∩ [a, b] için

|f(x) − f(c)| < 1,

yani

(1) −1 + f(c) < f(x) < 1 + f(c)

olur (sürekliliğin tanımında ϵ = 1 aldık). Elbette δ’yı b−c’den küçük seçebiliriz;

öyle yapalım. O zaman her x ∈ [c, c + δ] için

−1 + f(c) < f(x) < 1 + f(c)

olur, yani f fonksiyonu [c, c + δ] üzerinde sınırlıdır. Buradan a < c çıkar. δ’yi

bir de ayrıca c−a’dan da küçük seçelim. (1)’den dolayı f’nin [c−δ/2, c+δ/2]

kapalı aralığında sınırlı olduğu anlaşılır. Ama f zaten [a, c − δ/2] aralığında

sınırlı. Demek ki f fonksiyonu bu iki aralığın bileşimi olan [a, c + δ/2] aralı-

ğında da sınırlı, ki bu da c + δ/2 ∈ S demektir. S’de c’den büyük bir eleman

bulduk, celişki.

Ayşe Uyar

Comments

Önceki yoruma gerek yokmuş.

$f,$ nin  $[c,c+\delta]$ da sınırlı oluşundan, $c>a$ elde ediliyor.