Cevabin ucuncu kismi: iki rasyonel sayi icin EKOK bulma...
Sav: $a$ ve $c$ ayni anda sifir olmayan, $c$ ve $d$ de sifir olmayan tam sayilar olmak uzere $(a,b)=(c,d)=1$ olsun. $$\left[\frac ab,\frac cd\right]=\frac{[a,c]}{(b,d)}$$ saglanir.
Ispat: ilk olarak $[ad,bc]$ degerine bakalim. Elimizde $$ad\cdot bc=[ad,bc]\cdot (ad,bc)$$ oldugundan $(ad,bc)$ degerini inceleyelim. $$(ad,bd)=(b,d)\left(a\frac{d}{(b,d)},c\frac{b}{(b,d)}\right)$$ olur. Ikinci EBOB'da ilk ifade ile $b/(b,d)$ aralarinda asal oldugundan $$=(b,d)\left(a\frac{d}{(b,d)},c\right)$$ olur. $(c, d/(b,d))=1$ oldugundan $$=(b,d)(a,c)$$ olur. Bu da bize $$[ad,bc]=\frac{ac\cdot bd}{(a,c)(b,d)}=[a,c]\cdot [b,d]$$ oldugunu verir. Dolayisiyla $$\left[\frac ab,\frac cd\right]=\frac{1}{|bd|}[ad,bc]=\frac{1}{[b,d](b,d)}\cdot[a,c][b,d]=\frac{[a,c]}{(b,d)}$$ olur.
** Ilk esitligin saglanmasinin sebebi ilk kisimda EBOB'taki biriciklik soylemimizle ayni yerden geliyor. Tam sayilarda EKOK biricik, pozitif bir tam sayiya ile boldugumuzde de en kucukluk devam eder.
*** Artik genel halini TUMEVARIM ile ispatlayabiliriz.