En büyük çarpanı aradığımızdan toplanan sayılar arasında $ 4$ olamaz. Misal $ 5 = 4+1$ yazmak yerine $ 5=3+2$ yazarsak $ 3.2 = 6$ çarpımı $ 4.1=4$ çarpımından daha büyük olacaktır.
En genel halde $ 4$ den büyük bir $ n$ sayısı için $ 3(n-3)$ çarpımı daha büyüktür.
Toplamlar arasında $ 1$ sayısı kesinlikle olamaz. Çünkü çarpımın sonucu değişmez.
$ 4$ sayısı yerine $ 2+2$ kullanmak çarpımın sonucunu daha da arttırır.
Sonuç olarak toplamları sabit olan sayıların çarpımının en büyük olması için toplam $ 3$ ve $ 2$ sayılarından oluşmalı. Fakat $ 2$ ve $ 3$ sayılarını ne sıklıkta kullanacağız ?
$ 2$ den fazla $ 2$ kullanmak yerine ,$ 3$ kullanmak bizi daha büyük bir sayıya ulaştırır. Örneğin $ 6$ sayısı için $ 6=2+2+2$ yazmak yerine $ 6 = 3+3$ yazmak bizi daha büyük bir çarpıma ulaştırır.
$ 101 = 3.33+2$ olduğundan $ 101 = 3+3+3+3......+3+2$ şeklinde yazılıp, çarpımın sonucu $ 3^{33}.2 $ olacaktır. O halde genellemeleri yapalım.
Toplamları $3n $ olan sayıların çarpımı en fazla $3n = 3+3+3+...+3 $ olup $3^n $ olur.
Toplamları $3n+1 $ olan sayıların çarpımı en fazla kaç olur ?
$3n+1 = 3+3+3....+3+1 $ şeklinde yazarsak $ $ olur. Ancak $ 3+1=4=2+2$ yazarsak
$ 3n+1 = 3+3+....+2+2 = 3^{n-1}.4 $ olur ki $ 3^{n-1}.4 > 3^{n-1}.3$
$3n+2 = 3+3+3+3+.....+3+2 = 3^n.2$ olacaktır.