$5x^2+6xy+2y^2+7x+6y+6=0$ eğrisinin içindeki alanı bulunuz.

Question

Eğrinin elips olduğu açık ancak merkezi ve çaplarını bulmada sorun yaşadım.

Comments

elipste $xy$li terim olmamasi gerekmez mi?

---

Normal elips değil zaten ekseni eğik bir elips.

---

Diskriminant sıfırdan küçük olduğundan elips,çember,nokta veya boş küme olabilir fakat bu denklem kesinlikle  elips. Burada x ve y li terimleri bir öteleme ile ve xy li terimi ise bir dönme ile yok edip elipsi merkezi elips haline getirip  eksenleri okuyabilirsiniz. Bu dönüşümleri katsayılar cinsinden veren formüller vardı. Denklemi kuadratik form olarak yazıp çözmek de mümkündü sanırım. Siz neler denediniz?

---

Ben aslında epey bir şey denedim merkezi ve çapları bulmak için elipsin karşılıklı kenarlarının türevlerini eşitledim. 3. yolu deniyorum şu an o olacak gibi duruyor çıkarsa atarım.

---

Cevap $\pi/2$  cikiyor..

---

Ben bir şey yaptım ama $\pi/2$ ile uzaktan yakından alakası yok :(

---

Wolfram Alpha amca da $\pi/2$ buldu, en azından ona yakın bir reel sayı yazmış.

Answer 1

Öncelikle $y $ değerleri için, iki $x$ kökünün arasındaki uzaklığı veren bir fonksiyon yazmaya çalışalım. Bu fonksiyonu yazabilmek için $y $ değerini sabit kabul edip, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi çözdükten sonra köklerin arasındaki uzaklığı bulabiliriz. 

Denklemi $5x^2+(6y+7)x+(2y^2+6y+6)=0$ olarak düzenleyelim. Bu durumda kökler arasındaki uzaklık $\frac {\sqrt {(6y+7)^2-4.5.( 2y^2+6y+6)}}{5} =\frac {\sqrt {-4y^2-36y-71}}{5}$ olarak hesaplanabilir. Bu da bize $\left[\frac {-9-\sqrt {10}}{2},\frac {-9+\sqrt {10}}{2}\right]$ aralığında bir fonksiyon verir.

Burada dikkat edilmesi gereken, bu uzunlukları veren fonksiyonun altındaki alanın aynı zamanda elipsin alanına da eşit olduğudur. Çünkü bu alanı bulurken çizgilerin uzunluklarını kalınlıklarıyla çarpıp toplarız, çizgiler aslında elipsin yatay çizgileri olduğundan bu çizgileri pekala elipsin içine “cuk” oturtabiliriz. Yani eğer eğrinin altındaki alanı bulursak elipsinkini de buluruz. O halde eğrinin altındaki alanı bulmaya çalışalım.

$\displaystyle \int \limits_{\frac {-9-\sqrt {10}}{2}}^{\frac {-9+\sqrt {10}}{2}} \frac {\sqrt {-4y^2-36y-71}}{5} dy $ integralini bulmaya çalışalım. Öncelikle $\displaystyle \int \limits_{\frac {-9-\sqrt {10}}{2}}^{\frac {-9+\sqrt {10}}{2}} \frac {\sqrt {10-(2y+9)^2}}{5} dy $ olarak düzenleyip $\frac {2y+9}{\sqrt {10}}=u$ dönüşümü yaparsak $\displaystyle \int \limits_{\frac {3\pi}{2}}^{\frac {\pi}{2}} cos^2u du $ buluruz. Bu da $\frac{arcsin (2. \frac {3\pi}{2})}{4}-\frac{arcsin (2. \frac {\pi}{2})}{4}+\frac {1}{2}\left (\frac {3\pi}{2}-\frac {\pi}{2}\right)=\frac {\pi}{2}$ yapar. Yani elipsin alanı $\frac {\pi}{2}$’dir.

Comments

Normalde soruyu farklı işlemlerle yaptığımdan son kısımda işlem hataları olabilir uyarırsanız düzeltirim.