İntegral hesaplama.

Question

$\lim_{n\to\infty}\int_{n}^{n+1}xsin(\frac 1x)dx$ sonucunu hesaplayınız

Answer 1

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\sin \frac1x=1$ olduğunu sen göster. 

Bunu doğru kabul ederek $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\textstyle\int_n^{n+1}x\sin \frac1x\,dx=1$ olduğunu gösterelim.

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin.

$\forall x>M$ için $\left|x\sin \frac1x-1\right|<\varepsilon$ olacak şekilde bir $M$ gerçel sayısı vardır.

$K=\left\lfloor |M|\right\rfloor+1$ ($\lfloor\ \rfloor$:Tam değer) olsun. $K\in\mathbb{N}$ ve $K>M$ olur.

$\forall n\in\mathbb{N}$, $n>K$ için $n>M $ olur ve bunun sonucu olarak

$\forall x\in[n,n+1]$ için $\left|x\sin \frac1x-1\right|<\varepsilon$ olur.

Bu eşitsizlikten,

$\left|\int_n^{n+1}x\sin \frac1x\,dx-1\right|=\left|\int_n^{n+1}x\sin\frac1x\,dx-\int_n^{n+1}1\,dx\right|=\left|\int_n^{n+1}(x\sin\frac1x-1)\,dx\right|\leq \int_n^{n+1}\left|x\sin \frac1x-1\right|dx<\varepsilon$ olur.

Comments

Bunu limiti olan her fonksiyon ve aralik genisligi icin yapabiliriz hatta. $\lim_{x\to \infty}f(x)=L$ ise $\lim_{n\to \infty} \int_{n}^{n+k}f(x)dx=\text{sgn}(k)\cdot L$ olur.

---

Sercan, bu doğru değil sanırım.O limit $kL$ olmalı.

(İntegration içinin $L$ olduğu zamanki değeri. Limit ile integralin işlemlerinin sıra değiştirmiş şekli)

---

Evet, haklisiniz. (Iceri atarken $L$ olarak degil $kL$ olarak atmak gerekir, integrale uydurmak icin). 

$k=0$ ise bariz. Degilse...

Verilen $\epsilon > 0$ icin oyle bir pozitif  $M$ gercel sayisi vardir ki $x>M$ ise $$|f(x)-L|<\epsilon/|k|$$ saglanir. Dolayisiyla$$\left|\int_{n}^{n+k}f(x)dx - kL\right|=\left|\int_{n}^{n+k}f(x)dx -\int_{n}^{n+k}L dx \right|$$$$=\left|\int_{n}^{n+k}[f(x)-L]dx \right| <|k|(\epsilon/|k|)=\epsilon$$ olur.