Birim cember icerisine cizilen duzgun cokgenlerin alani

Question

Birim çember içine çizilmiş $m-kenarlı $ düzgün çokgen $P_m$ olsun.$P_m$'in oluşturduğu alan $A_m$ ise ;

$A_{2m}=\frac m{2}\sqrt{2-2\sqrt{1-(\frac{2A_m}{m})^2}}$

olduğunu gösteriniz.

Bu sonuç ışığında $A_{2^n}$ için nasıl bir yorum yapabiliriz.

Answer 1

Köşeleri birim çember üzerinde olan düzgün bir $m-genin$,orijindeki tepe açı ölçüleri $\frac{360}{m}$ derece olan  $m$ tane ikizkenar üçgenden meydana geldiğini biliyoruz. Dolayısıyla bu $m-genin$ sınırladığı alan $A_m=\frac{m}{2}.sin(\frac{360}{m})\Rightarrow A_m=m.sin(\frac{360}{2m}).cos(\frac{360}{2m}).......................(*)$ olur. Öte yandan  $A_{2m}=m.sin(\frac{360}{2m})\Rightarrow \frac{A_{2m}}{m}=sin(\frac{360}{2m})......................(**)$ dır. Bu eşitlik $*$ da kullanılırsa $A_m=A_{2m}.cos(\frac{360}{2m})=A_{2m}.\sqrt{1-sin^2(\frac{360}{2m})}=A_{2m}.\sqrt{1-sin^2(\frac{360}{2m})}$ olur. Bu son eşitlikte $(**)$ kullanılırsa,

$ A_m=A_{2m}.\sqrt{1-\frac{A^2_{2m}}{m^2}}\Rightarrow A^2_m=A^2_{2m}(1-\frac{A^2_{2m}}{m^2})$ bulunur .Bu son denklem düzenlenirse $A^4_{2m}-m^2A^2_{2m}+m^2A^2_m=0\Rightarrow A^2_{2m}=\frac{m^2\pm\sqrt{m^4-4m^2.A^2_m}}{2}= \frac{m^2\pm m^2\sqrt{1-(\frac{2.A_m}{m})^2}}{2}$ buradan tekrar karekök alınır ve iç kısım iki ile çarpılır ve bölünürse;

$ A_{2m}=\sqrt{\frac{m^2\pm m^2\sqrt{1-(\frac{2.A_m}{m})^2}}{2}}=\frac m2.\sqrt{2\pm 2\sqrt{1-(\frac{2.A_m}{m})^2}} $ olacaktır. 

$A_{2^n}$ içinde formülde $2m$ yerine $2^n$ yazılmalıdır.