Her $n$ pozitif tam sayisi icin $$\{1,\cdots, n\}$$ kumesinin ardasik eleman icermeyen alt kumeleri sayisina $a_n$ diyelim.
Bu durumda $$a_1=2 \;\;\; \text{ ve }\;\;\; a_2=3$$ olur.
______________________
$n\ge 2$ olsun.
Bu kumenin bir alt kumesi ya $n$'yi eleman olarak icerir ya da icermez.
(Durum 1) Diyelim ki icermiyor. O zaman soru su olur: $$\{1,\cdots, n-1\}$$ kumesinin ardasik eleman icermeyen alt kumeleri sayisi kac olur. Bu da $a_{n-1}$ dedigimiz.
(Durum 2) Diyelim ki $n$'yi iceriyor. Bu durumda $n-1$ elemanini iceremez. Bu durumda da $\{n\}$ ile $$\{1,\cdots, n-2\}$$ kumesinin ardasik eleman icermeyen alt kumelerini birlestirmis oluruz. Bu sayi da $a_{n-2}$ olur.
Dolayisi ile $a_1=2$, $a_2=3$ ve $n\ge 2$ icin $$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$$ olmasi gerektigini elde ederiz. (Fibonacci dizisinin otelenmis hali. Hatta $a_0=1$ olarak da gorebiliriz).
Sorunun cevabi da $$2,3,5,8,13,21,34,\boxed{55}$$ olur.