Tanım: $\emptyset\neq X\subset \mathbb{R}$ üstten sınırsız bir küme, $f:X\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon ve $L\in \mathbb{R}$ olmak üzere
$$lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=L:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists M>0)(x\in X\cap (M,\infty)\rightarrow \mid f(x)-L\mid <\epsilon)$$
Buna göre $f(x)=\frac{1}{x}$ kuralı ile verilen $f:(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu için $$lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0$$ olduğunu gösterelim. Fonksiyonun tanım kümesinin üstten sınırsız bir küme olduğuna dikkat ediniz. Tanım kümesi üstten sınırsız olmazsa yukarıda tanımı verilen limitten BAHSEDİLEMEZ. Geriye pek birşey kalmadı.
$$\mid f(x)-0\mid =\mid f(x)\mid =\mid \frac{1}{x}\mid =\frac{1}{x}<\epsilon\Rightarrow \frac{1}{\epsilon}<x$$
olacağından $$M=\frac{1}{\epsilon}$$ seçmek yeterli olacaktır.