Question

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+n\ln n}{n^2+5} $ serisinin yakinsaklik durumu nedir ?

Answer 1

$$\frac{1+nlnn}{n^2+5}>\frac{nlnn}{n^2+5}>\frac{nlnn}{n^2+5n}=\frac{lnn}{n+5}>\frac{lnn}{6n}$$ ve $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{lnn}{6n}$$ serisi ıraksak olduğundan karşılaştırma testi uyarınca sizin seriniz de ıraksak olur. 

Answer 2

Çözüm yöntemi:

0) Toplam içerisindeki dizi pozitif tanımlı.

1) $\frac{\ln n}n$ ile limit karşılaşması yapılırsa limit $1$ gelir. O zaman yakınsaklıkları(ya da ıraksıkları)  aynı olur. Demek istediğim: karşılaştırdığımız yakınsaksa toplamımız da yakınsak olur, ıraksak ise toplamımız da ıraksak olur.

2) $\frac{\ln x}x$ ile integral testi yapılır. ( integral  testi için gerekli şartlar var ki onlar da çok önemli!)

Answer 3

1/n serisi ile kıyaslarsak, limit karşılaştırma testiyle beraber ıraksak olduğu görülür.