$\displaystyle \int \limits^1_0 \frac{ln(1+t)}{t}dt$ integralinin değerini bulunuz

Question

Ben epey ilerledim aslında, sonunu getirmeye çalışıyorum. Getirebilirsem çözümü, getiremezsem gittiğim yolu yazarım.

Comments

ln(1+t)=u dedin mi?

---

Demedim, $1+t=e^u$ dedim, sayılır mı? :)

---

Devamını da getirelim, elimde $\displaystyle \int \limits_0^{ln2} \frac{u}{1-e^{-u}}du$ oldu. Ardından $\displaystyle \frac{1}{1-e^{-u}}=\sum ^\infty_{n=0}e^{-nu}$ deyip oradan dümdüz kaptırınca karşıma $\displaystyle \sum ^\infty_{n=0} \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^2.2^n}-\frac{ln2}{n.2^n}\right)$ serisi çıktı ki görünüşe göre benim bunu hesaplamaya matematiğim yetmez :)

---

Ilk olarak bu integral "improper" (has olmayan) degil. Neden degil? $$\lim\limits_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}\stackrel{L'h}{=}\lim\limits_{t\to0}\frac{1}{1+t}=1.$$

Bu link'e bakabilirsin ayrica. Buna gore cevap $-Li_2(-1)=\frac{\pi}{12}$ olur.