$R = S = \mathbb{Z}$ olsun. $A$'yi ben vereyim: $\mathbb{2Z}$. $B$'yi sen bul. Oyle bir sey bul ki $2\mathbb{Z} \times B \subsetneq 2\mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z}$ olsun mesela.
Handan Hanim'in yorumu uzerine ekleme: $\mathbb{Z}$ halkasinin idealleri nelerdir? Bir altkumenin ideal olabilmesi icin iki sart gerekli: Birincisi altgrup yapisina sahip olmasi, ikincisi de $R$'nin elemanlariyla (sagdan ve soldan) carpma altinda kapali olmasi. ($\mathbb{Z}$ degismeli bir halka oldugu icin sagdan ve soldan carpma arasinda fark yok.). $\mathbb{Z}$'nin butun alt gruplari $n\mathbb{Z}$ seklindedir. Yani elimizdeki ideal adaylari, $n\mathbb{Z}$'ler. Bunlardan hangileri ideal olusturur? Bunlardan hangileri tamsayilar ile carpma altinda kapalidir? Herhangi bir $n \in \mathbb{N}$ icin, $a \in n\mathbb{Z}$ alalim. Bir de $r \in \mathbb{Z}$ alalim. $ra \in n\mathbb{Z}$ midir? Cevap evet. (Neden? Cunku $a = n b \in n \mathbb{Z}$ ise $ra = rnb = nrb = n(rb) \in n\mathbb{Z}$). Demek ki, $\mathbb{Z}$'nin idealleri $n\mathbb{Z}$ seklinde. Yani, $B$'nin olabilecegi idealler $n\mathbb{Z}$ seklinde. Ama eger $B \subset 2\mathbb{Z}$ istiyorsan, o zaman $n$'yi guzel secmen gerek. Mesela $3\mathbb{Z} \subset 2\mathbb{Z}$ dogru degil. Ama $9\mathbb{Z} \subset 3\mathbb{Z}$ dogru.