Cisim genişlemesi derece bulma.

Question

Sorunun bir kısmı :  $\mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5):Q\mid =8 $ 

$\mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5) : Q(\sqrt2 , \sqrt3 )\mid \mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 ) : Q(\sqrt2 )\mid \mid Q(\sqrt2 ): Q\mid =8 $

Diye yazıp sırayla en alttan başladım . Bir adımda şunu anlayamadım ;

$\sqrt5 \notin Q(\sqrt2 , \sqrt3 )$

$\sqrt5=p+q\sqrt2+r\sqrt3+s\sqrt6$    $p,q,r,s \in Q$  Her tarafın karesını alıp gerekli işlem yapınca ,

$p^2+2q^2+3r^2+6s^2=5$

$pq+3rs=0$

$pr+2qs=0$

Burada $p,q,r,s $ nasıl seçmeliyiz. Nasıl işleme devam etmeliyiz?

Comments

"Sorunun bir kısmı" demişsiniz.. Sorunun aslı nedir?

---

Sorunun bu kısmı şunu soruyor.Yani derecenin 8 olacagını gosteriniz

$\mid Q(\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5):Q\mid =? $ 

---

Tamam..( $\sqrt5 \notin \mathbb{Q}(\sqrt2 , \sqrt3)$ ise $\sqrt5$ sayısını , $\sqrt5 = p+q(\sqrt2)+r(\sqrt3)+s(\sqrt6)$  $p,q,r,s\in \mathbb{Q}$ şeklinde yazamayız.)

$[ \mathbb{Q} (\sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5} ) : \mathbb{Q}] = [ \mathbb{Q} (\sqrt2 , \sqrt3 , \sqrt5) : \mathbb{Q} (\sqrt2 , \sqrt3)] \cdot [ \mathbb{Q} (\sqrt2 , \sqrt3) : \mathbb{Q} (\sqrt2)] \cdot [ \mathbb{Q} (\sqrt2) : \mathbb{Q} ]$

olduğu biliniyor. 

--$\mathbb{Q}(\sqrt2)$  nin $\mathbb{Q}$  üzerinden boyutunu bulalım.

$\alpha= \sqrt2 \Rightarrow {\alpha}^2 -2=0=f(\alpha) \Rightarrow f(x)=x^2-2 \in \mathbb{Q}(\sqrt2) \backslash \{0\}$ polinomu $\mathbb{Q}$ üzerinde indirgenemezdir ($p=2$ için Eisenstein kriteri). $\sqrt2$   $\mathbb{Q}$ üzerinde cebirsel ,$f$ (monik ve indirgenemez) minimal polinom olduğundan $[ \mathbb{Q}(\sqrt2) : \mathbb{Q} ]= derf(x)=2$

Diğer gösterilmesi gereken iki durum için de benzer şeyler yapılırsa $[ \mathbb{Q} (\sqrt{2} , \sqrt{3} , \sqrt{5} ) : \mathbb{Q}]=8$ olduğu görülebilir..